Theorem serf0 11293

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serf0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serf0.3	|- ( ph -> F e. V )
serf0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
serf0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serf0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serf0

Dummy variables j m n x a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf0.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		serf0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
3		climcauc.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	climcaucn 11292	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
6	3	cau3 11057	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
7	5, 6	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
8	3	peano2uzs 9522	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
9	8	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
10		eluzelz 9475	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
11		uzid 9480	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
12		peano2uz 9521	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
13		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) )
15	14	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
16	15	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
17	16	rspcv 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	10, 11, 12, 17	4syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	18	adantld 276	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	ralimia 2527	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
21		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
22	21, 3	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
23		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
25		eluzp1m1 9489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
26	24, 25	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) = ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) )
28		fvoveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
29	27, 28	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
30	29	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
31	30	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
32	31	rspcv 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
33	26, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34		serf0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
35	3, 1, 34	serf 10409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
36	35	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
37	3	uztrn2 9483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
38	21, 26, 37	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
39	36, 38	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
40	3	uztrn2 9483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
41	9, 40	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
42	36, 41	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) e. CC )
43	39, 42	abssubd 11135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
44		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
46	45	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
47		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
48		npcan 8107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
49	46, 47, 48	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
50	49	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` k ) )
51	50	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) )
52	51	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) )
53	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
54		eluzp1p1 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
55	22, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
56		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
57	56	uztrn2 9483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58	55, 57	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
59		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
60	59	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
61	34	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
62	61	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
63		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63, 3	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. Z )
65	60, 62, 64	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` a ) e. CC )
66		addcl 7878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
68	53, 58, 65, 67	seq3m1 10403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
69	68	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
70	34	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	41, 70	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	39, 71	pncan2d 8211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
73	69, 72	eqtr2d 2199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
74	73	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
75	43, 52, 74	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
76	75	breq1d 3992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
77	33, 76	sylibd 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
78	77	ralrimdva 2546	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
79	20, 78	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
80		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
81	80	raleqdv 2667	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
82	81	rspcev 2830	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
83	9, 79, 82	syl6an 1422	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
84	83	rexlimdva 2583	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85	84	ralimdv 2534	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
86	7, 85	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
87		serf0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
88		eqidd 2166	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
89	3, 1, 87, 88, 34	clim0c 11227	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
90	86, 89	mpbird 166	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   seqcseq 10380   abscabs 10939   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11477