Theorem serf0 12062

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serf0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serf0.3	|- ( ph -> F e. V )
serf0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
serf0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serf0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serf0

Dummy variables j m n x a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf0.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		serf0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
3		climcauc.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	climcaucn 12061	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
6	3	cau3 11825	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
7	5, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
8	3	peano2uzs 9934	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
10		eluzelz 9881	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
11		uzid 9886	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
12		peano2uz 9933	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
13		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) )
15	14	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
16	15	breq1d 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
17	16	rspcv 2919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	10, 11, 12, 17	4syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	18	adantld 278	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	ralimia 2605	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
22	21, 3	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
23		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
25		eluzp1m1 9896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
26	24, 25	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) = ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) )
28		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
29	27, 28	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
30	29	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
31	30	breq1d 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
32	31	rspcv 2919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
33	26, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34		serf0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
35	3, 1, 34	serf 10869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
37	3	uztrn2 9890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
38	21, 26, 37	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
39	36, 38	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
40	3	uztrn2 9890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
41	9, 40	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
42	36, 41	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) e. CC )
43	39, 42	abssubd 11903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
44		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
46	45	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
47		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
48		npcan 8498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
49	46, 47, 48	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
50	49	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` k ) )
51	50	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) )
52	51	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) )
53	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
54		eluzp1p1 9898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
55	22, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
56		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
57	56	uztrn2 9890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58	55, 57	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
59		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
60	59	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
61	34	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
62	61	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63, 3	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. Z )
65	60, 62, 64	rspcdva 2928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` a ) e. CC )
66		addcl 8268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
68	53, 58, 65, 67	seq3m1 10859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
69	68	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
70	34	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	41, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	39, 71	pncan2d 8602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
73	69, 72	eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
74	73	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
75	43, 52, 74	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
76	75	breq1d 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
77	33, 76	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
78	77	ralrimdva 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
79	20, 78	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
80		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
81	80	raleqdv 2749	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
82	81	rspcev 2923	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
83	9, 79, 82	syl6an 1479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
84	83	rexlimdva 2662	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85	84	ralimdv 2612	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
86	7, 85	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
87		serf0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
88		eqidd 2235	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
89	3, 1, 87, 88, 34	clim0c 11996	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
90	86, 89	mpbird 167	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   RR+crp 10004   seqcseq 10833   abscabs 11707   ~~> cli 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989

This theorem is referenced by:  mertenslem2  12247