Theorem serf0 11663

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serf0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serf0.3	|- ( ph -> F e. V )
serf0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
serf0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serf0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serf0

Dummy variables j m n x a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf0.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		serf0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
3		climcauc.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	climcaucn 11662	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
6	3	cau3 11426	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
7	5, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
8	3	peano2uzs 9705	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
10		eluzelz 9657	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
11		uzid 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
12		peano2uz 9704	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
13		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) )
15	14	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
16	15	breq1d 4054	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
17	16	rspcv 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	10, 11, 12, 17	4syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	18	adantld 278	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	ralimia 2567	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
22	21, 3	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
23		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
25		eluzp1m1 9672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
26	24, 25	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) = ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) )
28		fvoveq1 5967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
29	27, 28	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
30	29	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
31	30	breq1d 4054	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
32	31	rspcv 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
33	26, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34		serf0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
35	3, 1, 34	serf 10628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
37	3	uztrn2 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
38	21, 26, 37	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
39	36, 38	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
40	3	uztrn2 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
41	9, 40	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
42	36, 41	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) e. CC )
43	39, 42	abssubd 11504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
44		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
46	45	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
47		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
48		npcan 8281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
49	46, 47, 48	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
50	49	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` k ) )
51	50	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) )
52	51	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) )
53	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
54		eluzp1p1 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
55	22, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
56		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
57	56	uztrn2 9666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58	55, 57	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
59		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
60	59	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
61	34	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
62	61	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63, 3	eleqtrrdi 2299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. Z )
65	60, 62, 64	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` a ) e. CC )
66		addcl 8050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
68	53, 58, 65, 67	seq3m1 10618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
69	68	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
70	34	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	41, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	39, 71	pncan2d 8385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
73	69, 72	eqtr2d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
74	73	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
75	43, 52, 74	3eqtr4d 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
76	75	breq1d 4054	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
77	33, 76	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
78	77	ralrimdva 2586	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
79	20, 78	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
80		fveq2 5576	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
81	80	raleqdv 2708	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
82	81	rspcev 2877	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
83	9, 79, 82	syl6an 1454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
84	83	rexlimdva 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85	84	ralimdv 2574	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
86	7, 85	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
87		serf0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
88		eqidd 2206	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
89	3, 1, 87, 88, 34	clim0c 11597	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
90	86, 89	mpbird 167	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4044   dom cdm 4675   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   - cmin 8243   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   RR+crp 9775   seqcseq 10592   abscabs 11308   ~~> cli 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11847