Theorem serf0 11360

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serf0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serf0.3	|- ( ph -> F e. V )
serf0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
serf0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serf0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serf0

Dummy variables j m n x a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf0.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		serf0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
3		climcauc.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	climcaucn 11359	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) )
6	3	cau3 11124	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
7	5, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) )
8	3	peano2uzs 9584	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
10		eluzelz 9537	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
11		uzid 9542	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
12		peano2uz 9583	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
13		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) )
15	14	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
16	15	breq1d 4014	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
17	16	rspcv 2838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	10, 11, 12, 17	4syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	18	adantld 278	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	ralimia 2538	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
22	21, 3	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
23		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
25		eluzp1m1 9551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
26	24, 25	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) = ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) )
28		fvoveq1 5898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
29	27, 28	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
30	29	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
31	30	breq1d 4014	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
32	31	rspcv 2838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
33	26, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34		serf0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
35	3, 1, 34	serf 10474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F ) : Z --> CC )
37	3	uztrn2 9545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
38	21, 26, 37	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
39	36, 38	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
40	3	uztrn2 9545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
41	9, 40	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
42	36, 41	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) e. CC )
43	39, 42	abssubd 11202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
44		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
46	45	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
47		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
48		npcan 8166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
49	46, 47, 48	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
50	49	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` k ) )
51	50	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) )
52	51	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) )
53	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
54		eluzp1p1 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
55	22, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
56		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
57	56	uztrn2 9545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58	55, 57	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
59		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
60	59	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
61	34	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
62	61	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63, 3	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. Z )
65	60, 62, 64	rspcdva 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` a ) e. CC )
66		addcl 7936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
68	53, 58, 65, 67	seq3m1 10468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
69	68	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
70	34	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	41, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	39, 71	pncan2d 8270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
73	69, 72	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) )
74	73	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` k ) - ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
75	43, 52, 74	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
76	75	breq1d 4014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
77	33, 76	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
78	77	ralrimdva 2557	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
79	20, 78	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
80		fveq2 5516	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
81	80	raleqdv 2679	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
82	81	rspcev 2842	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
83	9, 79, 82	syl6an 1434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
84	83	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85	84	ralimdv 2545	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , F ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
86	7, 85	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
87		serf0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
88		eqidd 2178	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
89	3, 1, 87, 88, 34	clim0c 11294	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
90	86, 89	mpbird 167	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4004   dom cdm 4627   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   - cmin 8128   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653   seqcseq 10445   abscabs 11006   ~~> cli 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11544