ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clim0c GIF version

Theorem clim0c 10638
Description: Express the predicate 𝐹 converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
clim0.3 (𝜑𝐹𝑉)
clim0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
clim0c.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim0c (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim0c
StepHypRef Expression
1 clim0.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 clim0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 clim0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
4 clim0.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 0cnd 7460 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
6 clim0c.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
71, 2, 3, 4, 5, 6clim2c 10636 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥))
81uztrn2 9005 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
96subid1d 7761 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
109fveq2d 5293 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
1110breq1d 3847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
128, 11sylan2 280 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1312anassrs 392 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1413ralbidva 2376 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
1514rexbidva 2377 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
1615ralbidv 2380 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
177, 16bitrd 186 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329   < clt 7501  cmin 7632  cz 8720  cuz 8988  +crp 9103  abscabs 10395  cli 10630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-clim 10631
This theorem is referenced by:  climabs0  10660  serif0  10705  divcnv  10852
  Copyright terms: Public domain W3C validator