Theorem div11ap 8460

Description: One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
div11ap	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( A / C ) = ( B / C ) <-> A = B ) )

Proof of Theorem div11ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 981	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> A e. CC )
2		simp3l 1009	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C e. CC )
3		simp3r 1010	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> C # 0 )
4		divclap 8438	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ C # 0 ) -> ( A / C ) e. CC )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( A / C ) e. CC )
6		simp2 982	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> B e. CC )
7		divclap 8438	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ C # 0 ) -> ( B / C ) e. CC )
8	6, 2, 3, 7	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( B / C ) e. CC )
9	5, 8, 2, 3	mulcanapd 8422	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. ( A / C ) ) = ( C x. ( B / C ) ) <-> ( A / C ) = ( B / C ) ) )
10		divcanap2 8440	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ C # 0 ) -> ( C x. ( A / C ) ) = A )
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. ( A / C ) ) = A )
12		divcanap2 8440	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ C # 0 ) -> ( C x. ( B / C ) ) = B )
13	6, 2, 3, 12	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( C x. ( B / C ) ) = B )
14	11, 13	eqeq12d 2154	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( C x. ( A / C ) ) = ( C x. ( B / C ) ) <-> A = B ) )
15	9, 14	bitr3d 189	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( A / C ) = ( B / C ) <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   x. cmul 7625   # cap 8343   / cdiv 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433

This theorem is referenced by:  div11api  8531  div11apd  8591  divgcdcoprm0  11782