Theorem divcanap2 8843

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divcanap2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( A / B ) ) = A )

Proof of Theorem divcanap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		simp1 1021	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> A e. CC )
3		divclap 8841	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. CC )
4		3simpc 1020	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
5		divmulap 8838	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( A / B ) e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) = ( A / B ) <-> ( B x. ( A / B ) ) = A ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( A / B ) = ( A / B ) <-> ( B x. ( A / B ) ) = A ) )
7	1, 6	mpbii 148	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( A / B ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   CCcc 8013   0cc0 8015   x. cmul 8020   # cap 8744   / cdiv 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836

This theorem is referenced by:  divcanap1  8844  recidap  8849  div11ap  8863  divmuldivap  8875  dmdcanap  8885  divcanap2zi  8912  divcanap2i  8918  divcanap2d  8955  zdiv  9551  addcj  11423  sin02gt0  12296  sinq12gt0  15525