Theorem divgcdcoprm0 11818

Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divgcdcoprm0	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem divgcdcoprm0

Dummy variables a b m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcddvds 11688	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
2	1	3adant3 1002	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
3		gcdcl 11691	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
4	3	nn0zd 9195	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
5		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
6	4, 5	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) )
7	6	3adant3 1002	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) )
8		divides 11531	. . . . 5 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) )
10		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
11	4, 10	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
12	11	3adant3 1002	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
13		divides 11531	. . . . 5 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) )
15	9, 14	anbi12d 465	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) <-> ( E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) ) )
16		bezout 11735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) )
17	16	3adant3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) )
18		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) = ( A x. m ) )
19		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) = ( B x. n ) )
20	18, 19	oveqan12rd 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) -> ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) )
21	20	eqeq2d 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) ) )
22	21	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) ) )
23		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> a e. ZZ )
24	23	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> a e. CC )
25	24	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. CC )
26	3	nn0cnd 9056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. CC )
27	26	3adant3 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. CC )
28	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. CC )
29		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> m e. ZZ )
30	29	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> m e. CC )
31	30	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> m e. CC )
32	25, 28, 31	mul32d 7939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) = ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) )
33		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. ZZ )
34	33	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. CC )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. CC )
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37	36	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. CC )
38	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> n e. CC )
39	35, 28, 38	mul32d 7939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) = ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) )
40	32, 39	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) )
41	40	eqeq2d 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) ) )
42	23	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. ZZ )
43	29	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a x. m ) e. ZZ )
45	4	3adant3 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
46	45	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
47	44, 46	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) e. ZZ )
48	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. ZZ )
49	36	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
50	48, 49	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b x. n ) e. ZZ )
51	3	3adant3 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
52	51	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
54	50, 53	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) e. ZZ )
55	47, 54	zaddcld 9201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) e. ZZ )
56	55	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) e. CC )
57		gcd2n0cl 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. NN )
58		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( A gcd B ) e. CC )
59		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( A gcd B ) # 0 )
60	58, 59	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) )
61	57, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) )
62	61	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) )
63		div11ap 8484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) ) )
64	28, 56, 62, 63	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) ) )
65		dividap 8485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = 1 )
66	62, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = 1 )
67	47	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) e. CC )
68	54	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) e. CC )
69		divdirap 8481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) e. CC /\ ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) + ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) ) )
70	67, 68, 62, 69	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) + ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) ) )
71	44	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a x. m ) e. CC )
72	51	nn0cnd 9056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. CC )
73	72	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. CC )
74	62	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) # 0 )
75	71, 73, 74	divcanap4d 8580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) = ( a x. m ) )
76	50	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b x. n ) e. CC )
77	76, 28, 74	divcanap4d 8580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) = ( b x. n ) )
78	75, 77	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) + ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) ) = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) )
79	70, 78	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) )
80	66, 79	eqeq12d 2155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) <-> 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) ) )
81	41, 64, 80	3bitr2d 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) <-> 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) ) )
82	22, 81	sylan9bbr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) <-> 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) ) )
83		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) <-> ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 )
84		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
85	84	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) )
86	85	ancomd 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) )
87		bezoutr1 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 -> ( a gcd b ) = 1 ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 -> ( a gcd b ) = 1 ) )
89	88	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 -> ( a gcd b ) = 1 ) )
90	83, 89	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) -> ( a gcd b ) = 1 ) )
91		simpll1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
92	91	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> A e. CC )
93		divmulap3 8461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. CC /\ a e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) = a <-> A = ( a x. ( A gcd B ) ) ) )
94	92, 25, 62, 93	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) = a <-> A = ( a x. ( A gcd B ) ) ) )
95		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = ( A / ( A gcd B ) ) <-> ( A / ( A gcd B ) ) = a )
96		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A <-> A = ( a x. ( A gcd B ) ) )
97	94, 95, 96	3bitr4g 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a = ( A / ( A gcd B ) ) <-> ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) )
98	97	biimprd 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> a = ( A / ( A gcd B ) ) ) )
99	98	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> a = ( A / ( A gcd B ) ) ) ) )
100	99	imp32 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> a = ( A / ( A gcd B ) ) )
101		simp2 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> B e. ZZ )
102	101	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> B e. CC )
103	102	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> B e. CC )
104		divmulap3 8461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( B e. CC /\ b e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( B / ( A gcd B ) ) = b <-> B = ( b x. ( A gcd B ) ) ) )
105	103, 35, 62, 104	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( B / ( A gcd B ) ) = b <-> B = ( b x. ( A gcd B ) ) ) )
106		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( B / ( A gcd B ) ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) = b )
107		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B <-> B = ( b x. ( A gcd B ) ) )
108	105, 106, 107	3bitr4g 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b = ( B / ( A gcd B ) ) <-> ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) )
109	108	biimprd 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> b = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
110	109	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> b = ( B / ( A gcd B ) ) ) ) )
111	110	imp32 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> b = ( B / ( A gcd B ) ) )
112	100, 111	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( a gcd b ) = ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) )
113	112	eqeq1d 2149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( a gcd b ) = 1 <-> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
114	90, 113	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
115	82, 114	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
116	115	exp32 363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
117	116	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
118	117	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
119	118	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) ) )
120	119	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) ) )
121	120	rexlimdvva 2560	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) ) )
122	17, 121	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
123	122	impl 378	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ a e. ZZ ) /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
124	123	rexlimdva 2552	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ a e. ZZ ) -> ( E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
125	124	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
126	125	rexlimdva 2552	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
127	126	impd 252	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
128	15, 127	sylbid 149	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
129	2, 128	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   || cdvds 11529   gcd cgcd 11671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672

This theorem is referenced by:  divgcdcoprmex  11819