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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 12155 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 1019 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 12158 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 9463 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 109 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 1019 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 11971 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 110 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 1019 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 11971 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 473 |
. . 3
|
| 16 | bezout 12203 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 5932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 5932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 5945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 9321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 8196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 8196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 5943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 9471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 9471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 9471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 9463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 9471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 9469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 12161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 9015 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 9036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 8744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 8745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 8741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 9321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 8840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 8840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 5943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 12225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 1038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 8721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 8721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 48 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 5943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 83 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 115 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 78 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2622 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 380 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2614 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 78 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2614 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 254 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 150 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
wb 105 w3a 980 wceq 1364 wcel 2167 wne 2367 wrex 2476 class class class wbr 4034
(class class class)co 5925 cc 7894 cc0 7896 c1 7897 caddc 7899 cmul 7901 # cap 8625
cdiv 8716
cn 9007
cn0 9266
cz 9343
cdvds 11969 cgcd 12145 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 12295 |
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