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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 11841 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 1002 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 11844 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 9279 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 108 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 304 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 1002 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 11680 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 109 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 304 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 1002 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 11680 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 465 |
. . 3
|
| 16 | bezout 11889 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 5828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 5828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 5841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 9140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 8023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 8023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 5839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 9287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 9287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 9287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 9279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 9287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 9285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 11847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 8836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 8857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 8568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 8569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 8565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 9140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 8664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 8664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 5839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 11911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | syl5bi 151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 8545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 8545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 48 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 5839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 363 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 83 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 114 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 78 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2582 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 378 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2574 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 78 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2574 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 252 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 149 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 103
wb 104 w3a 963 wceq 1335 wcel 2128 wne 2327 wrex 2436 class class class wbr 3965
(class class class)co 5821 cc 7725 cc0 7727 c1 7728 caddc 7730 cmul 7732 # cap 8451
cdiv 8540
cn 8828
cn0 9085
cz 9162
cdvds 11678 cgcd 11823 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4495 ax-iinf 4546 ax-cnex 7818 ax-resscn 7819 ax-1cn 7820 ax-1re 7821 ax-icn 7822 ax-addcl 7823 ax-addrcl 7824 ax-mulcl 7825 ax-mulrcl 7826 ax-addcom 7827 ax-mulcom 7828 ax-addass 7829 ax-mulass 7830 ax-distr 7831 ax-i2m1 7832 ax-0lt1 7833 ax-1rid 7834 ax-0id 7835 ax-rnegex 7836 ax-precex 7837 ax-cnre 7838 ax-pre-ltirr 7839 ax-pre-ltwlin 7840 ax-pre-lttrn 7841 ax-pre-apti 7842 ax-pre-ltadd 7843 ax-pre-mulgt0 7844 ax-pre-mulext 7845 ax-arch 7846 ax-caucvg 7847 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-if 3506 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-ilim 4329 df-suc 4331 df-iom 4549 df-xp 4591 df-rel 4592 df-cnv 4593 df-co 4594 df-dm 4595 df-rn 4596 df-res 4597 df-ima 4598 df-iota 5134 df-fun 5171 df-fn 5172 df-f 5173 df-f1 5174 df-fo 5175 df-f1o 5176 df-fv 5177 df-riota 5777 df-ov 5824 df-oprab 5825 df-mpo 5826 df-1st 6085 df-2nd 6086 df-recs 6249 df-frec 6335 df-sup 6925 df-pnf 7909 df-mnf 7910 df-xr 7911 df-ltxr 7912 df-le 7913 df-sub 8043 df-neg 8044 df-reap 8445 df-ap 8452 df-div 8541 df-inn 8829 df-2 8887 df-3 8888 df-4 8889 df-n0 9086 df-z 9163 df-uz 9435 df-q 9524 df-rp 9556 df-fz 9908 df-fzo 10037 df-fl 10164 df-mod 10217 df-seqfrec 10340 df-exp 10414 df-cj 10737 df-re 10738 df-im 10739 df-rsqrt 10893 df-abs 10894 df-dvds 11679 df-gcd 11824 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 11973 |
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