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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 12652 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 1044 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 12655 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 9694 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 109 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 1044 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 12468 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 110 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 1044 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 12468 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 473 |
. . 3
|
| 16 | bezout 12700 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 6056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 6056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 6069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 9551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 8422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 8422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 6067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 9702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 9702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 9702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 9694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 9702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 9700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 12658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 9241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 9262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 8970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 8971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 8967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 9551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 9066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 9066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 6067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 1063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 8947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 1025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 9697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 8947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 48 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 6067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 83 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 115 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 78 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2668 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 380 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2660 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 78 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2660 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 254 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 150 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
wb 105 w3a 1005 wceq 1398 wcel 2203 wne 2412 wrex 2521 class class class wbr 4108
(class class class)co 6049 cc 8121 cc0 8123 c1 8124 caddc 8126 cmul 8128 # cap 8851
cdiv 8942
cn 9233
cn0 9492
cz 9573
cdvds 12466 cgcd 12642 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8214 ax-resscn 8215 ax-1cn 8216 ax-1re 8217 ax-icn 8218 ax-addcl 8219 ax-addrcl 8220 ax-mulcl 8221 ax-mulrcl 8222 ax-addcom 8223 ax-mulcom 8224 ax-addass 8225 ax-mulass 8226 ax-distr 8227 ax-i2m1 8228 ax-0lt1 8229 ax-1rid 8230 ax-0id 8231 ax-rnegex 8232 ax-precex 8233 ax-cnre 8234 ax-pre-ltirr 8235 ax-pre-ltwlin 8236 ax-pre-lttrn 8237 ax-pre-apti 8238 ax-pre-ltadd 8239 ax-pre-mulgt0 8240 ax-pre-mulext 8241 ax-arch 8242 ax-caucvg 8243 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-frec 6621 df-sup 7274 df-pnf 8306 df-mnf 8307 df-xr 8308 df-ltxr 8309 df-le 8310 df-sub 8442 df-neg 8443 df-reap 8845 df-ap 8852 df-div 8943 df-inn 9234 df-2 9292 df-3 9293 df-4 9294 df-n0 9493 df-z 9574 df-uz 9850 df-q 9948 df-rp 9983 df-fz 10339 df-fzo 10473 df-fl 10626 df-mod 10681 df-seqfrec 10806 df-exp 10897 df-cj 11520 df-re 11521 df-im 11522 df-rsqrt 11676 df-abs 11677 df-dvds 12467 df-gcd 12643 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 12792 |
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