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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 12723 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 1048 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 12726 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 9749 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 109 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 1048 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 12539 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 110 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 1048 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 12539 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 477 |
. . 3
|
| 16 | bezout 12771 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 1048 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 6086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 6086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 6099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 9605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 1048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 8473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 8473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 6097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 9757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 1048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 9757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 9757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 1048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 9749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 9757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 9755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 12729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 9295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 9316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 9024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 9025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 9021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 9605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 9120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 9120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 6097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 12793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 1067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 9001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 1029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 9752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 9001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 48 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 6097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 83 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 115 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 78 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2676 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 380 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2668 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 78 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2668 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 254 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 150 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
wb 105 w3a 1009 wceq 1402 wcel 2209 wne 2420 wrex 2529 class class class wbr 4128
(class class class)co 6079 cc 8171 cc0 8173 c1 8174 caddc 8176 cmul 8178 # cap 8903
cdiv 8996
cn 9287
cn0 9546
cz 9627
cdvds 12537 cgcd 12713 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-sup 7318 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-dvds 12538 df-gcd 12714 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 12863 |
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