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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 12492 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 1041 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 12495 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 9575 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 109 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 1041 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 12308 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 110 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 1041 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 12308 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 473 |
. . 3
|
| 16 | bezout 12540 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 1041 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 6014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 6014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 6027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 9432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 1041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 8307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 8307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 6025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 9583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 1041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 9583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 9583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 1041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 9575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 9583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 9581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 12498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 9126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 9147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 8855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 8856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 8852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 9432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 8951 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 8951 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 6025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 12562 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 1060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 8832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 9578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 8832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 48 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 6025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 83 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 115 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 78 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2656 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 380 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2648 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 78 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2648 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 254 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 150 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
wb 105 w3a 1002 wceq 1395 wcel 2200 wne 2400 wrex 2509 class class class wbr 4083
(class class class)co 6007 cc 8005 cc0 8007 c1 8008 caddc 8010 cmul 8012 # cap 8736
cdiv 8827
cn 9118
cn0 9377
cz 9454
cdvds 12306 cgcd 12482 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-mulrcl 8106 ax-addcom 8107 ax-mulcom 8108 ax-addass 8109 ax-mulass 8110 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-1rid 8114 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-precex 8117 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123 ax-pre-mulgt0 8124 ax-pre-mulext 8125 ax-arch 8126 ax-caucvg 8127 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-sup 7159 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-reap 8730 df-ap 8737 df-div 8828 df-inn 9119 df-2 9177 df-3 9178 df-4 9179 df-n0 9378 df-z 9455 df-uz 9731 df-q 9823 df-rp 9858 df-fz 10213 df-fzo 10347 df-fl 10498 df-mod 10553 df-seqfrec 10678 df-exp 10769 df-cj 11361 df-re 11362 df-im 11363 df-rsqrt 11517 df-abs 11518 df-dvds 12307 df-gcd 12483 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 12632 |
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