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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 12130 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 1019 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 12133 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 9446 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 109 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 1019 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 11954 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 110 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 306 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 1019 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 11954 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 473 |
. . 3
|
| 16 | bezout 12178 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 8179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 8179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 9446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 9452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 12136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 8998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 9019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 8727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 8728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 8724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 8823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 8823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 12200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 1038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 8704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 8704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 48 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 83 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 115 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 78 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2622 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 380 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2614 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 78 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2614 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 254 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 150 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
wb 105 w3a 980 wceq 1364 wcel 2167 wne 2367 wrex 2476 class class class wbr 4033
(class class class)co 5922 cc 7877 cc0 7879 c1 7880 caddc 7882 cmul 7884 # cap 8608
cdiv 8699
cn 8990
cn0 9249
cz 9326
cdvds 11952 cgcd 12120 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 12270 |
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