Theorem divgcdcoprm0 12881

Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divgcdcoprm0	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem divgcdcoprm0

Dummy variables a b m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcddvds 12742	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
2	1	3adant3 1048	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
3		gcdcl 12745	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
4	3	nn0zd 9768	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
6	4, 5	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) )
7	6	3adant3 1048	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) )
8		divides 12558	. . . . 5 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
11	4, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
12	11	3adant3 1048	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
13		divides 12558	. . . . 5 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) )
15	9, 14	anbi12d 477	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) <-> ( E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) ) )
16		bezout 12790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) )
17	16	3adant3 1048	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) )
18		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) = ( A x. m ) )
19		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) = ( B x. n ) )
20	18, 19	oveqan12rd 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) -> ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) )
21	20	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) ) )
22	21	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) ) )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> a e. ZZ )
24	23	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> a e. CC )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. CC )
26	3	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. CC )
27	26	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. CC )
28	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. CC )
29		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> m e. ZZ )
30	29	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> m e. CC )
31	30	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> m e. CC )
32	25, 28, 31	mul32d 8479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) = ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. ZZ )
34	33	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. CC )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. CC )
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37	36	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. CC )
38	37	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> n e. CC )
39	35, 28, 38	mul32d 8479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) = ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) )
40	32, 39	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) )
41	40	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) ) )
42	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. ZZ )
43	29	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a x. m ) e. ZZ )
45	4	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
46	45	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
47	44, 46	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) e. ZZ )
48	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. ZZ )
49	36	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
50	48, 49	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b x. n ) e. ZZ )
51	3	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
54	50, 53	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) e. ZZ )
55	47, 54	zaddcld 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) e. ZZ )
56	55	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) e. CC )
57		gcd2n0cl 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. NN )
58		nncn 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( A gcd B ) e. CC )
59		nnap0 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( A gcd B ) # 0 )
60	58, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A gcd B ) e. NN -> ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) )
61	57, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) )
62	61	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) )
63		div11ap 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) ) )
64	28, 56, 62, 63	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) <-> ( A gcd B ) = ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) ) )
65		dividap 9032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = 1 )
66	62, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = 1 )
67	47	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) e. CC )
68	54	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) e. CC )
69		divdirap 9028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) e. CC /\ ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) + ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) ) )
70	67, 68, 62, 69	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) + ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) ) )
71	44	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a x. m ) e. CC )
72	51	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( A gcd B ) e. CC )
73	72	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. CC )
74	62	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) # 0 )
75	71, 73, 74	divcanap4d 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) = ( a x. m ) )
76	50	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b x. n ) e. CC )
77	76, 28, 74	divcanap4d 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) = ( b x. n ) )
78	75, 77	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) + ( ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) / ( A gcd B ) ) ) = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) )
79	70, 78	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) )
80	66, 79	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( ( ( a x. m ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( b x. n ) x. ( A gcd B ) ) ) / ( A gcd B ) ) <-> 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) ) )
81	41, 64, 80	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( ( a x. ( A gcd B ) ) x. m ) + ( ( b x. ( A gcd B ) ) x. n ) ) <-> 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) ) )
82	22, 81	sylan9bbr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) <-> 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) ) )
83		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) <-> ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 )
84		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
85	84	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) )
86	85	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) )
87		bezoutr1 12812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 -> ( a gcd b ) = 1 ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 -> ( a gcd b ) = 1 ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) = 1 -> ( a gcd b ) = 1 ) )
90	83, 89	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) -> ( a gcd b ) = 1 ) )
91		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
92	91	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> A e. CC )
93		divmulap3 9008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. CC /\ a e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) = a <-> A = ( a x. ( A gcd B ) ) ) )
94	92, 25, 62, 93	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) = a <-> A = ( a x. ( A gcd B ) ) ) )
95		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = ( A / ( A gcd B ) ) <-> ( A / ( A gcd B ) ) = a )
96		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A <-> A = ( a x. ( A gcd B ) ) )
97	94, 95, 96	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a = ( A / ( A gcd B ) ) <-> ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) )
98	97	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> a = ( A / ( A gcd B ) ) ) )
99	98	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> a = ( A / ( A gcd B ) ) ) ) )
100	99	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> a = ( A / ( A gcd B ) ) )
101		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> B e. ZZ )
102	101	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> B e. CC )
103	102	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> B e. CC )
104		divmulap3 9008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( B e. CC /\ b e. CC /\ ( ( A gcd B ) e. CC /\ ( A gcd B ) # 0 ) ) -> ( ( B / ( A gcd B ) ) = b <-> B = ( b x. ( A gcd B ) ) ) )
105	103, 35, 62, 104	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( B / ( A gcd B ) ) = b <-> B = ( b x. ( A gcd B ) ) ) )
106		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( B / ( A gcd B ) ) <-> ( B / ( A gcd B ) ) = b )
107		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B <-> B = ( b x. ( A gcd B ) ) )
108	105, 106, 107	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b = ( B / ( A gcd B ) ) <-> ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) )
109	108	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> b = ( B / ( A gcd B ) ) ) )
110	109	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> b = ( B / ( A gcd B ) ) ) ) )
111	110	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> b = ( B / ( A gcd B ) ) )
112	100, 111	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( a gcd b ) = ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) )
113	112	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( a gcd b ) = 1 <-> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
114	90, 113	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( 1 = ( ( a x. m ) + ( b x. n ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
115	82, 114	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B /\ ( a x. ( A gcd B ) ) = A ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
116	115	exp32 365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
117	116	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
118	117	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
119	118	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) ) )
120	119	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) ) )
121	120	rexlimdvva 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( A gcd B ) = ( ( A x. m ) + ( B x. n ) ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) ) )
122	17, 121	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) ) )
123	122	impl 380	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ a e. ZZ ) /\ b e. ZZ ) -> ( ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
124	123	rexlimdva 2668	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ a e. ZZ ) -> ( E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
125	124	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
126	125	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A -> ( E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) ) )
127	126	impd 254	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( E. a e. ZZ ( a x. ( A gcd B ) ) = A /\ E. b e. ZZ ( b x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
128	15, 127	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 ) )
129	2, 128	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ B =/= 0 ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   # cap 8910   / cdiv 9003   NNcn 9305   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   || cdvds 12556   gcd cgcd 12732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-gcd 12733

This theorem is used by:  divgcdcoprmex  12882