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Theorem divgcdcoprm0 12095
Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprm0  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )

Proof of Theorem divgcdcoprm0
Dummy variables  a  b  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcddvds 11958 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
213adant3 1017 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
3 gcdcl 11961 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
43nn0zd 9371 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
5 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
64, 5jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )
)
763adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )
)
8 divides 11791 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
10 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
114, 10jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )
)
12113adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )
)
13 divides 11791 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
1412, 13syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
159, 14anbi12d 473 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  <->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  E. b  e.  ZZ  (
b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) ) )
16 bezout 12006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) ) )
17163adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) ) )
18 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  =  ( A  x.  m
) )
19 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n )  =  ( B  x.  n
) )
2018, 19oveqan12rd 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n
) ) )
2120eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m
)  +  ( B  x.  n ) ) ) )
2221bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
2423zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
2524adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  CC )
263nn0cnd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  CC )
27263adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  CC )
29 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
3029zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  CC )
3225, 28, 31mul32d 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  m
)  =  ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
3433zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
3534adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  CC )
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
3736zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
3837ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
3935, 28, 38mul32d 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
)  =  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4032, 39oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) )  =  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
4140eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
4223adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
4329ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
4442, 43zmulcld 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  x.  m
)  e.  ZZ )
4543adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
4744, 46zmulcld 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
4833adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
4936ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
5048, 49zmulcld 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  x.  n
)  e.  ZZ )
5133adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e. 
NN0 )
5251ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
5450, 53zmulcld 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
5547, 54zaddcld 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  ZZ )
5655zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  CC )
57 gcd2n0cl 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
58 nncn 8925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
59 nnap0 8946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B ) #  0 )
6058, 59jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
6157, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
6261ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
63 div11ap 8655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  CC  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( A  gcd  B
)  =  ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
6428, 56, 62, 63syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( A  gcd  B
)  =  ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
65 dividap 8656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
6662, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
6747zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC )
6854zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC )
69 divdirap 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC  /\  (
( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7067, 68, 62, 69syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7144zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  x.  m
)  e.  CC )
7251nn0cnd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
7372ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  CC )
7462simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
) #  0 )
7571, 73, 74divcanap4d 8751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( a  x.  m ) )
7650zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  x.  n
)  e.  CC )
7776, 28, 74divcanap4d 8751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( b  x.  n ) )
7875, 77oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) )
7970, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) ) )
8066, 79eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
8141, 64, 803bitr2d 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
8222, 81sylan9bbr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
83 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  <->  ( (
a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  =  1 )
84 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
8584anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )
8685ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
) )
87 bezoutr1 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  =  1  ->  ( a  gcd  b )  =  1 ) )
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  =  1  ->  ( a  gcd  b )  =  1 ) )
8988adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  =  1  -> 
( a  gcd  b
)  =  1 ) )
9083, 89biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  -> 
( a  gcd  b
)  =  1 ) )
91 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
9291zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
93 divmulap3 8632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  a  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  =  a  <-> 
A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
9492, 25, 62, 93syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  =  a  <-> 
A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
95 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  a )
96 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  <->  A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) )
9794, 95, 963bitr4g 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A ) )
9897biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  ->  a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
9998a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
10099imp32 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  a  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) ) )
101 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ZZ )
102101zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
104 divmulap3 8632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  b  <-> 
B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
105103, 35, 62, 104syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  b  <-> 
B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
106 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  b )
107 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  <->  B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) )
108105, 106, 1073bitr4g 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) )
109108biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
110109a1dd 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
111110imp32 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  b  =  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )
112100, 111oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
a  gcd  b )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
113112eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( a  gcd  b
)  =  1  <->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) )
11490, 113sylibd 149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
11582, 114sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
116115exp32 365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
117116com34 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) ) )
118117com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
119118ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
120119com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
121120rexlimdvva 2602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
12217, 121mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
123122impl 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) )
124123rexlimdva 2594 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) )
125124com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) )
126125rexlimdva 2594 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) )
127126impd 254 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
12815, 127sylbid 150 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
1292, 128mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815   # cap 8536    / cdiv 8627   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ZZcz 9251    || cdvds 11789    gcd cgcd 11937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-gcd 11938
This theorem is referenced by:  divgcdcoprmex  12096
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