ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemom Unicode version

Theorem ennnfonelemom 12458
Description: Lemma for ennnfone 12475. 
H yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfonelemom.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemom  |-  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  e.  om )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    j, J    x, N    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    P( x, y, j, k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( x, y, j, k, n)    J( x, y, k, n)    N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemom
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.h . . . 4  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
21fveq1i 5535 . . 3  |-  ( H `
 P )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 P )
32dmeqi 4846 . 2  |-  dom  ( H `  P )  =  dom  (  seq 0
( G ,  J
) `  P )
4 ennnfonelemh.dceq . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
5 ennnfonelemh.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
6 ennnfonelemh.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
7 ennnfonelemh.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
8 ennnfonelemh.n . . . . . . 7  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
9 ennnfonelemh.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
104, 5, 6, 7, 8, 9, 1ennnfonelemj0 12451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  0
)  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 1ennnfonelemg 12453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
12 nn0uz 9591 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
13 0zd 9294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 1ennnfonelemjn 12452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
1510, 11, 12, 13, 14seqf2 10494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 ( G ,  J ) : NN0 --> { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
16 ennnfonelemom.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
1715, 16ffvelcdmd 5672 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 P )  e. 
{ g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
18 dmeq 4845 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  seq 0
( G ,  J
) `  P )  ->  dom  g  =  dom  (  seq 0 ( G ,  J ) `  P ) )
1918eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( g  =  (  seq 0
( G ,  J
) `  P )  ->  ( dom  g  e. 
om 
<->  dom  (  seq 0
( G ,  J
) `  P )  e.  om ) )
2019elrab 2908 . . . 4  |-  ( (  seq 0 ( G ,  J ) `  P )  e.  {
g  e.  ( A 
^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  <->  ( (  seq 0 ( G ,  J ) `  P
)  e.  ( A 
^pm  om )  /\  dom  (  seq 0 ( G ,  J ) `  P )  e.  om ) )
2117, 20sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq 0
( G ,  J
) `  P )  e.  ( A  ^pm  om )  /\  dom  (  seq 0
( G ,  J
) `  P )  e.  om ) )
2221simprd 114 . 2  |-  ( ph  ->  dom  (  seq 0
( G ,  J
) `  P )  e.  om )
233, 22eqeltrid 2276 1  |-  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472    u. cun 3142   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610    |-> cmpt 4079   suc csuc 4383   omcom 4607   `'ccnv 4643   dom cdm 4644   "cima 4647   -onto->wfo 5233   ` cfv 5235  (class class class)co 5895    e. cmpo 5897  freccfrec 6414    ^pm cpm 6674   0cc0 7840   1c1 7841    + caddc 7843    - cmin 8157   NN0cn0 9205   ZZcz 9282    seqcseq 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pm 6676  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-seqfrec 10476
This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12462  ennnfonelemhf1o  12463  ennnfonelemex  12464  ennnfonelemhom  12465  ennnfonelemdm  12470
  Copyright terms: Public domain W3C validator