Theorem ennnfonelemom 12350

Description: Lemma for ennnfone 12367. H yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemom.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemom	|- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, J   x, N   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( x, y, j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemom

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
2	1	fveq1i 5495	. . 3 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
3	2	dmeqi 4810	. 2 |- dom ( H ` P ) = dom ( seq 0 ( G , J ) ` P )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemj0 12343	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemg 12345	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12		nn0uz 9508	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13		0zd 9211	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemjn 12344	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
15	10, 11, 12, 13, 14	seqf2 10407	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16		ennnfonelemom.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
17	15, 16	ffvelrnd 5629	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
18		dmeq 4809	. . . . . 6 |- ( g = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) -> dom g = dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19	18	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( g = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) -> ( dom g e. om <-> dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
20	19	elrab 2886	. . . 4 |- ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
21	17, 20	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
22	21	simprd 113	. 2 |- ( ph -> dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om )
23	3, 22	eqeltrid 2257	1 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   u. cun 3119   (/)c0 3414   ifcif 3525   {csn 3581   <.cop 3584   |-> cmpt 4048   suc csuc 4348   omcom 4572   `'ccnv 4608   dom cdm 4609   "cima 4612   -onto->wfo 5194   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   e. cmpo 5852  freccfrec 6366   ^pm cpm 6623   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   - cmin 8077   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   seqcseq 10388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pm 6625  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-seqfrec 10389

This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12354  ennnfonelemhf1o  12355  ennnfonelemex  12356  ennnfonelemhom  12357  ennnfonelemdm  12362