Theorem ennnfonelemom 12650

Description: Lemma for ennnfone 12667. H yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemom.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemom	|- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, J   x, N   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( x, y, j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemom

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
2	1	fveq1i 5562	. . 3 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
3	2	dmeqi 4868	. 2 |- dom ( H ` P ) = dom ( seq 0 ( G , J ) ` P )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemj0 12643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemg 12645	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12		nn0uz 9653	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13		0zd 9355	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemjn 12644	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
15	10, 11, 12, 13, 14	seqf2 10577	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16		ennnfonelemom.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
17	15, 16	ffvelcdmd 5701	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
18		dmeq 4867	. . . . . 6 |- ( g = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) -> dom g = dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19	18	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( g = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) -> ( dom g e. om <-> dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
20	19	elrab 2920	. . . 4 |- ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
21	17, 20	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
22	21	simprd 114	. 2 |- ( ph -> dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om )
23	3, 22	eqeltrid 2283	1 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   u. cun 3155   (/)c0 3451   ifcif 3562   {csn 3623   <.cop 3626   |-> cmpt 4095   suc csuc 4401   omcom 4627   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   "cima 4667   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927  freccfrec 6457   ^pm cpm 6717   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pm 6719  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemhf1o  12655  ennnfonelemex  12656  ennnfonelemhom  12657  ennnfonelemdm  12662