Theorem ennnfonelemom 12412

Description: Lemma for ennnfone 12429. H yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemom.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemom	|- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, J   x, N   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( x, y, j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemom

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
2	1	fveq1i 5518	. . 3 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
3	2	dmeqi 4830	. 2 |- dom ( H ` P ) = dom ( seq 0 ( G , J ) ` P )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemj0 12405	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemg 12407	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12		nn0uz 9565	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13		0zd 9268	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemjn 12406	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
15	10, 11, 12, 13, 14	seqf2 10467	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
16		ennnfonelemom.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
17	15, 16	ffvelcdmd 5655	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
18		dmeq 4829	. . . . . 6 |- ( g = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) -> dom g = dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19	18	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( g = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) -> ( dom g e. om <-> dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
20	19	elrab 2895	. . . 4 |- ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } <-> ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
21	17, 20	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om ) )
22	21	simprd 114	. 2 |- ( ph -> dom ( seq 0 ( G , J ) ` P ) e. om )
23	3, 22	eqeltrid 2264	1 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   u. cun 3129   (/)c0 3424   ifcif 3536   {csn 3594   <.cop 3597   |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   "cima 4631   -onto->wfo 5216   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   e. cmpo 5880  freccfrec 6394   ^pm cpm 6652   0cc0 7814   1c1 7815   + caddc 7817   - cmin 8131   NN0cn0 9179   ZZcz 9256   seqcseq 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pm 6654  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449

This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12416  ennnfonelemhf1o  12417  ennnfonelemex  12418  ennnfonelemhom  12419  ennnfonelemdm  12424