Theorem frecsuc 6386

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
frecsuc	|- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S /\ B e. om ) -> (frec ( F , A ) ` suc B ) = ( F ` (frec ( F , A ) ` B ) ) )

Distinct variable groups:   z, F   z, S

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)

Proof of Theorem frecsuc

Dummy variables f g m x y n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 4811	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> dom f = dom g )
2	1	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( dom f = suc n <-> dom g = suc n ) )
3		fveq1 5495	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( f ` n ) = ( g ` n ) )
4	3	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( F ` ( f ` n ) ) = ( F ` ( g ` n ) ) )
5	4	eleq2d 2240	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( y e. ( F ` ( f ` n ) ) <-> y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) )
6	2, 5	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( dom f = suc n /\ y e. ( F ` ( f ` n ) ) ) <-> ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) ) )
7	6	rexbidv 2471	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( E. n e. om ( dom f = suc n /\ y e. ( F ` ( f ` n ) ) ) <-> E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) ) )
8	1	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( dom f = (/) <-> dom g = (/) ) )
9	8	anbi1d 462	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( dom f = (/) /\ y e. A ) <-> ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) )
10	7, 9	orbi12d 788	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( E. n e. om ( dom f = suc n /\ y e. ( F ` ( f ` n ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ y e. A ) ) <-> ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) ) )
11	10	abbidv 2288	. . . 4 |- ( f = g -> { y | ( E. n e. om ( dom f = suc n /\ y e. ( F ` ( f ` n ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ y e. A ) ) } = { y | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) } )
12	11	cbvmptv 4085	. . 3 |- ( f e. _V |-> { y | ( E. n e. om ( dom f = suc n /\ y e. ( F ` ( f ` n ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ y e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { y | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) } )
13		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y e. ( F ` ( g ` n ) ) <-> x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) )
14	13	anbi2d 461	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) <-> ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) ) )
15	14	rexbidv 2471	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) <-> E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) ) )
16		eleq1 2233	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y e. A <-> x e. A ) )
17	16	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( dom g = (/) /\ y e. A ) <-> ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) )
18	15, 17	orbi12d 788	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) <-> ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) ) )
19	18	cbvabv 2295	. . . 4 |- { y | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) } = { x | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) }
20	19	mpteq2i 4076	. . 3 |- ( g e. _V |-> { y | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ y e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ y e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
21		suceq 4387	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> suc n = suc m )
22	21	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( dom g = suc n <-> dom g = suc m ) )
23		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( g ` n ) = ( g ` m ) )
24	23	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( F ` ( g ` n ) ) = ( F ` ( g ` m ) ) )
25	24	eleq2d 2240	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( x e. ( F ` ( g ` n ) ) <-> x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) )
26	22, 25	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) <-> ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) ) )
27	26	cbvrexv 2697	. . . . . 6 |- ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) <-> E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) )
28	27	orbi1i 758	. . . . 5 |- ( ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) )
29	28	abbii 2286	. . . 4 |- { x | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } = { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) }
30	29	mpteq2i 4076	. . 3 |- ( g e. _V |-> { x | ( E. n e. om ( dom g = suc n /\ x e. ( F ` ( g ` n ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
31	12, 20, 30	3eqtri 2195	. 2 |- ( f e. _V |-> { y | ( E. n e. om ( dom f = suc n /\ y e. ( F ` ( f ` n ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ y e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
32	31	frecsuclem 6385	1 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S /\ B e. om ) -> (frec ( F , A ) ` suc B ) = ( F ` (frec ( F , A ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   dom cdm 4611   ` cfv 5198  freccfrec 6369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-recs 6284  df-frec 6370

This theorem is referenced by:  frecrdg  6387  frec2uzsucd  10357  frec2uzrdg  10365  frecuzrdgsuc  10370  frecuzrdgg  10372  frecuzrdgsuctlem  10379  seq3val  10414  seqvalcd  10415