Theorem drnguiap 14693

Description: The set of units of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngui.b	|- B = ( Base ` R )
drngui.z	|- .0. = ( 0g ` R )
drnguiap.ap	|- # = (#r ` R )

Assertion

Ref	Expression
drnguiap	|- ( R e. DivRing -> { x e. B | x # .0. } = (Unit ` R ) )

Distinct variable groups:   x, #   x, .0.   x, B

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem drnguiap

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. . . 4 |- ( x = y -> ( x # .0. <-> y # .0. ) )
2	1	elrab 2982	. . 3 |- ( y e. { x e. B | x # .0. } <-> ( y e. B /\ y # .0. ) )
3		drngui.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
4		eqid 2238	. . . 4 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
5		drngui.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
6		drnguiap.ap	. . . 4 |- # = (#r ` R )
7	3, 4, 5, 6	drngunitap 14692	. . 3 |- ( R e. DivRing -> ( y e. (Unit ` R ) <-> ( y e. B /\ y # .0. ) ) )
8	2, 7	bitr4id 199	. 2 |- ( R e. DivRing -> ( y e. { x e. B | x # .0. } <-> y e. (Unit ` R ) ) )
9	8	eqrdv 2236	1 |- ( R e. DivRing -> { x e. B | x # .0. } = (Unit ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   Basecbs 13404   0gc0g 13663  Unitcui 14477  #_rcapr 14673   DivRingcdr 14686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pap 7609  df-tap 7616  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-sbg 13863  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352  df-ring 14386  df-oppr 14457  df-dvdsr 14479  df-unit 14480  df-invr 14512  df-dvr 14523  df-nzr 14571  df-lring 14582  df-apr 14674  df-drngap 14688

This theorem is used by: (None)