ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddp1even Unicode version

Theorem oddp1even 11500
Description: An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddp1even  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )

Proof of Theorem oddp1even
StepHypRef Expression
1 oddm1even 11499 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )
2 2z 9050 . . 3  |-  2  e.  ZZ
3 peano2zm 9060 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
4 dvdsadd 11463 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( N  -  1
)  <->  2  ||  (
2  +  ( N  -  1 ) ) ) )
52, 3, 4sylancr 410 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  2  ||  ( 2  +  ( N  -  1 ) ) ) )
6 2cnd 8761 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
7 zcn 9027 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8 1cnd 7750 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
96, 7, 8addsub12d 8064 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  +  ( N  -  1 ) )  =  ( N  +  ( 2  -  1 ) ) )
10 2m1e1 8806 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1110oveq2i 5753 . . . 4  |-  ( N  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  +  1 )
129, 11syl6eq 2166 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  +  ( N  -  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
1312breq2d 3911 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( 2  +  ( N  - 
1 ) )  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )
141, 5, 133bitrd 213 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   1c1 7589    + caddc 7591    - cmin 7901   2c2 8739   ZZcz 9022    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-xor 1339  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  zeo5  11512  oddp1d2  11514  n2dvdsm1  11537  2sqpwodd  11781  oddennn  11832
  Copyright terms: Public domain W3C validator