Theorem oddp1even 12348

Description: An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddp1even	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem oddp1even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddm1even 12347	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )
2		2z 9437	. . 3 |- 2 e. ZZ
3		peano2zm 9447	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4		dvdsadd 12308	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> 2 || ( 2 + ( N - 1 ) ) ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> 2 || ( 2 + ( N - 1 ) ) ) )
6		2cnd 9146	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
7		zcn 9414	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
8		1cnd 8125	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
9	6, 7, 8	addsub12d 8443	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 + ( N - 1 ) ) = ( N + ( 2 - 1 ) ) )
10		2m1e1 9191	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
11	10	oveq2i 5980	. . . 4 |- ( N + ( 2 - 1 ) ) = ( N + 1 )
12	9, 11	eqtrdi 2256	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 + ( N - 1 ) ) = ( N + 1 ) )
13	12	breq2d 4072	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || ( 2 + ( N - 1 ) ) <-> 2 || ( N + 1 ) ) )
14	1, 5, 13	3bitrd 214	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4060  (class class class)co 5969   1c1 7963   + caddc 7965   - cmin 8280   2c2 9124   ZZcz 9409   || cdvds 12259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-n0 9333  df-z 9410  df-dvds 12260

This theorem is referenced by:  zeo5  12360  oddp1d2  12362  n2dvdsm1  12385  2sqpwodd  12659  oddennn  12924