Theorem dvdsdivcl 11396

Description: The complement of a divisor of N is also a divisor of N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	|- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3898	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x || N <-> A || N ) )
2	1	elrab 2809	. . . 4 |- ( A e. { x e. NN | x || N } <-> ( A e. NN /\ A || N ) )
3		nndivdvds 11347	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N <-> ( N / A ) e. NN ) )
4	3	biimpd 143	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) )
5	4	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( N e. NN -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) ) )
6	5	com23 78	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( A || N -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) ) )
7	6	imp 123	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) )
8		nnne0 8658	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
9	8	anim1i 336	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A =/= 0 /\ A || N ) )
10	9	ancomd 265	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A || N /\ A =/= 0 ) )
11		divconjdvds 11395	. . . . . 6 |- ( ( A || N /\ A =/= 0 ) -> ( N / A ) || N )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N / A ) || N )
13	7, 12	jctird 313	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
14	2, 13	sylbi 120	. . 3 |- ( A e. { x e. NN | x || N } -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
15	14	impcom 124	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
16		breq1 3898	. . 3 |- ( x = ( N / A ) -> ( x || N <-> ( N / A ) || N ) )
17	16	elrab 2809	. 2 |- ( ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } <-> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
18	15, 17	sylibr 133	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1463   =/= wne 2282   {crab 2394   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   0cc0 7547   / cdiv 8345   NNcn 8630   || cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-dvds 11342

This theorem is referenced by:  dvdsflip  11397