Theorem dvdsdivcl 11859

Description: The complement of a divisor of N is also a divisor of N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	|- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4008	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x || N <-> A || N ) )
2	1	elrab 2895	. . . 4 |- ( A e. { x e. NN | x || N } <-> ( A e. NN /\ A || N ) )
3		nndivdvds 11806	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N <-> ( N / A ) e. NN ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) )
5	4	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( N e. NN -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) ) )
6	5	com23 78	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( A || N -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) ) )
7	6	imp 124	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) )
8		nnne0 8950	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
9	8	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A =/= 0 /\ A || N ) )
10	9	ancomd 267	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A || N /\ A =/= 0 ) )
11		divconjdvds 11858	. . . . . 6 |- ( ( A || N /\ A =/= 0 ) -> ( N / A ) || N )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N / A ) || N )
13	7, 12	jctird 317	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
14	2, 13	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. { x e. NN | x || N } -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
15	14	impcom 125	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
16		breq1 4008	. . 3 |- ( x = ( N / A ) -> ( x || N <-> ( N / A ) || N ) )
17	16	elrab 2895	. 2 |- ( ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } <-> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
18	15, 17	sylibr 134	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   =/= wne 2347   {crab 2459   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   0cc0 7814   / cdiv 8632   NNcn 8922   || cdvds 11797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-dvds 11798

This theorem is referenced by:  dvdsflip  11860