ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Unicode version

Theorem dvdsdivcl 11883
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4021 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 2908 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
3 nndivdvds 11830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  NN ) )
43biimpd 144 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  ||  N  ->  ( N  /  A
)  e.  NN ) )
54expcom 116 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  ||  N  -> 
( N  /  A
)  e.  NN ) ) )
65com23 78 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  ||  N  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  A )  e.  NN ) ) )
76imp 124 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( N  /  A
)  e.  NN ) )
8 nnne0 8972 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
98anim1i 340 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( A  =/=  0  /\  A  ||  N ) )
109ancomd 267 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( A  ||  N  /\  A  =/=  0
) )
11 divconjdvds 11882 . . . . . 6  |-  ( ( A  ||  N  /\  A  =/=  0 )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
137, 12jctird 317 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A
)  ||  N )
) )
142, 13sylbi 121 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  A
)  e.  NN  /\  ( N  /  A
)  ||  N )
) )
1514impcom 125 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( N  /  A
)  e.  NN  /\  ( N  /  A
)  ||  N )
)
16 breq1 4021 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
1716elrab 2908 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
1815, 17sylibr 134 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2160    =/= wne 2360   {crab 2472   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   0cc0 7836    / cdiv 8654   NNcn 8944    || cdvds 11821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-n0 9202  df-z 9279  df-dvds 11822
This theorem is referenced by:  dvdsflip  11884
  Copyright terms: Public domain W3C validator