Theorem dvdsdivcl 10933

Description: The complement of a divisor of N is also a divisor of N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	|- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3840	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x || N <-> A || N ) )
2	1	elrab 2769	. . . 4 |- ( A e. { x e. NN | x || N } <-> ( A e. NN /\ A || N ) )
3		nndivdvds 10884	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N <-> ( N / A ) e. NN ) )
4	3	biimpd 142	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN ) -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) )
5	4	expcom 114	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( N e. NN -> ( A || N -> ( N / A ) e. NN ) ) )
6	5	com23 77	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( A || N -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) ) )
7	6	imp 122	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( N / A ) e. NN ) )
8		nnne0 8422	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
9	8	anim1i 333	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A =/= 0 /\ A || N ) )
10	9	ancomd 263	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( A || N /\ A =/= 0 ) )
11		divconjdvds 10932	. . . . . 6 |- ( ( A || N /\ A =/= 0 ) -> ( N / A ) || N )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N / A ) || N )
13	7, 12	jctird 310	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ A || N ) -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
14	2, 13	sylbi 119	. . 3 |- ( A e. { x e. NN | x || N } -> ( N e. NN -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) ) )
15	14	impcom 123	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
16		breq1 3840	. . 3 |- ( x = ( N / A ) -> ( x || N <-> ( N / A ) || N ) )
17	16	elrab 2769	. 2 |- ( ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } <-> ( ( N / A ) e. NN /\ ( N / A ) || N ) )
18	15, 17	sylibr 132	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / A ) e. { x e. NN | x || N } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   =/= wne 2255   {crab 2363   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   0cc0 7329   / cdiv 8113   NNcn 8394   || cdvds 10878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-dvds 10879

This theorem is referenced by:  dvdsflip  10934