ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndivdvds Unicode version

Theorem nndivdvds 11703
Description: Strong form of dvdsval2 11697 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 9191 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
3 nnne0 8866 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  =/=  0 )
5 nnz 9191 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
65adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
7 dvdsval2 11697 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1220 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
98anbi1d 461 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) )  <-> 
( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
10 nnre 8845 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1110adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
12 nnre 8845 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
14 nngt0 8863 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1514adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
16 nngt0 8863 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
1716adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
1811, 13, 15, 17divgt0d 8811 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  /  B ) )
1918biantrud 302 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
20 elnnz 9182 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
2120a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
229, 19, 213bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2128    =/= wne 2327   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   RRcr 7733   0cc0 7734    < clt 7914    / cdiv 8549   NNcn 8838   ZZcz 9172    || cdvds 11694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-dvds 11695
This theorem is referenced by:  nndivides  11704  dvdsdivcl  11754  divgcdnn  11874  lcmgcdlem  11969  isprm6  12037  oddpwdclemodd  12062  oddpwdclemdc  12063  divnumden  12086  hashgcdlem  12128  hashgcdeq  12129
  Copyright terms: Public domain W3C validator