Theorem nndivdvds 11080

Description: Strong form of dvdsval2 11077 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8769	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
2	1	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
3		nnne0 8450	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
4	3	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B =/= 0 )
5		nnz 8769	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
6	5	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
7		dvdsval2 11077	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ B =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1174	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
9	8	anbi1d 453	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
10		nnre 8429	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
11	10	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12		nnre 8429	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
13	12	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
14		nngt0 8447	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
15	14	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
16		nngt0 8447	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
17	16	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 8396	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A / B ) )
19	18	biantrud 298	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
20		elnnz 8760	. . 3 |- ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
22	9, 19, 21	3bitr4d 218	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1438   =/= wne 2255   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   0cc0 7350   < clt 7522   / cdiv 8139   NNcn 8422   ZZcz 8750   || cdvds 11074

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-dvds 11075

This theorem is referenced by:  nndivides  11081  dvdsdivcl  11129  divgcdnn  11244  lcmgcdlem  11337  isprm6  11404  oddpwdclemodd  11428  oddpwdclemdc  11429  divnumden  11452  hashgcdlem  11481  hashgcdeq  11482