Theorem nndivdvds 12563

Description: Strong form of dvdsval2 12557 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9663	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
3		nnne0 9332	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B =/= 0 )
5		nnz 9663	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
7		dvdsval2 12557	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ B =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
9	8	anbi1d 469	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
10		nnre 9311	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12		nnre 9311	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
14		nngt0 9329	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
15	14	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
16		nngt0 9329	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
17	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 9265	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A / B ) )
19	18	biantrud 304	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
20		elnnz 9654	. . 3 |- ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
22	9, 19, 21	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   / cdiv 9002   NNcn 9304   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-dvds 12555

This theorem is used by:  nndivides  12564  dvdsdivcl  12617  divgcdnn  12752  lcmgcdlem  12855  isprm6  12925  oddpwdclemodd  12950  oddpwdclemdc  12951  divnumden  12974  hashgcdlem  13016  hashgcdeq  13018  oddprmdvds  13133  infpnlem2  13139  infpn2  13347  znrrg  14995  mersenne  16111  perfectlem1  16113  perfect  16115