Theorem nndivdvds 11850

Description: Strong form of dvdsval2 11844 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9313	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
3		nnne0 8988	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B =/= 0 )
5		nnz 9313	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
7		dvdsval2 11844	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ B =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
9	8	anbi1d 465	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
10		nnre 8967	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12		nnre 8967	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
14		nngt0 8985	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
15	14	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
16		nngt0 8985	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
17	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 8933	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A / B ) )
19	18	biantrud 304	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
20		elnnz 9304	. . 3 |- ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
22	9, 19, 21	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4025  (class class class)co 5904   RRcr 7850   0cc0 7851   < clt 8033   / cdiv 8670   NNcn 8960   ZZcz 9294   || cdvds 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-mulrcl 7950  ax-addcom 7951  ax-mulcom 7952  ax-addass 7953  ax-mulass 7954  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-1rid 7958  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-precex 7961  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-apti 7966  ax-pre-ltadd 7967  ax-pre-mulgt0 7968  ax-pre-mulext 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-reap 8573  df-ap 8580  df-div 8671  df-inn 8961  df-n0 9218  df-z 9295  df-dvds 11842

This theorem is referenced by:  nndivides  11851  dvdsdivcl  11903  divgcdnn  12023  lcmgcdlem  12126  isprm6  12196  oddpwdclemodd  12221  oddpwdclemdc  12222  divnumden  12245  hashgcdlem  12287  hashgcdeq  12288  oddprmdvds  12403  infpnlem2  12409  infpn2  12524