Theorem nndivdvds 11703

Description: Strong form of dvdsval2 11697 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9191	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
3		nnne0 8866	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B =/= 0 )
5		nnz 9191	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
7		dvdsval2 11697	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ B =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1220	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
9	8	anbi1d 461	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
10		nnre 8845	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12		nnre 8845	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
13	12	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
14		nngt0 8863	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
15	14	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
16		nngt0 8863	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
17	16	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 8811	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A / B ) )
19	18	biantrud 302	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
20		elnnz 9182	. . 3 |- ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
22	9, 19, 21	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   RRcr 7733   0cc0 7734   < clt 7914   / cdiv 8549   NNcn 8838   ZZcz 9172   || cdvds 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-dvds 11695

This theorem is referenced by:  nndivides  11704  dvdsdivcl  11754  divgcdnn  11874  lcmgcdlem  11969  isprm6  12037  oddpwdclemodd  12062  oddpwdclemdc  12063  divnumden  12086  hashgcdlem  12128  hashgcdeq  12129