ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl GIF version

Theorem dvdsdivcl 11293
Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 3870 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑁𝐴𝑁))
21elrab 2785 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁))
3 nndivdvds 11244 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
43biimpd 143 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
54expcom 115 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
65com23 78 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
76imp 123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8 nnne0 8548 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
98anim1i 334 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴𝑁))
109ancomd 264 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴𝑁𝐴 ≠ 0))
11 divconjdvds 11292 . . . . . 6 ((𝐴𝑁𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
137, 12jctird 311 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
142, 13sylbi 120 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
1514impcom 124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16 breq1 3870 . . 3 (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1716elrab 2785 . 2 ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1815, 17sylibr 133 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1445  wne 2262  {crab 2374   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  0cc0 7447   / cdiv 8236  cn 8520  cdvds 11238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-dvds 11239
This theorem is referenced by:  dvdsflip  11294
  Copyright terms: Public domain W3C validator