Theorem dvdsdivcl 12600

Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐴 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 2982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁))
3		nndivdvds 12546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
5	4	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
6	5	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
7	6	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8		nnne0 9315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	anim1i 340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∥ 𝑁))
10	9	ancomd 267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0))
11		divconjdvds 12599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
13	7, 12	jctird 317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
14	2, 13	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
15	14	impcom 125	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16		breq1 4131	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
17	16	elrab 2982	. 2 ⊢ ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
18	15, 17	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  0cc0 8173   / cdiv 8996  ℕcn 9287   ∥ cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  dvdsflip  12601