Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl GIF version

Theorem dvdsdivcl 11533
 Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 3927 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑁𝐴𝑁))
21elrab 2835 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁))
3 nndivdvds 11484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
43biimpd 143 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
54expcom 115 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
65com23 78 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
76imp 123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8 nnne0 8741 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
98anim1i 338 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴𝑁))
109ancomd 265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴𝑁𝐴 ≠ 0))
11 divconjdvds 11532 . . . . . 6 ((𝐴𝑁𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
137, 12jctird 315 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
142, 13sylbi 120 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
1514impcom 124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16 breq1 3927 . . 3 (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1716elrab 2835 . 2 ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1815, 17sylibr 133 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  {crab 2418   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  0cc0 7613   / cdiv 8425  ℕcn 8713   ∥ cdvds 11478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-dvds 11479 This theorem is referenced by:  dvdsflip  11534
 Copyright terms: Public domain W3C validator