Theorem dvdsdivcl 12413

Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐴 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 2962	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁))
3		nndivdvds 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
5	4	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
6	5	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
7	6	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8		nnne0 9171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	anim1i 340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∥ 𝑁))
10	9	ancomd 267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0))
11		divconjdvds 12412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
13	7, 12	jctird 317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
14	2, 13	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
15	14	impcom 125	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16		breq1 4091	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
17	16	elrab 2962	. 2 ⊢ ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
18	15, 17	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  {crab 2514   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032   / cdiv 8852  ℕcn 9143   ∥ cdvds 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-dvds 12351

This theorem is referenced by:  dvdsflip  12414