Theorem nnne0 9230

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9229	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2294	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 682	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2457	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   0cc0 8092   NNcn 9202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-inn 9203

This theorem is referenced by:  nnne0d  9247  divfnzn  9916  qreccl  9937  fzo1fzo0n0  10485  expnnval  10867  expnegap0  10872  hashnncl  11120  ef0lem  12301  dvdsval3  12432  nndivdvds  12437  modmulconst  12464  dvdsdivcl  12491  divalg2  12567  ndvdssub  12571  nndvdslegcd  12616  divgcdz  12622  divgcdnn  12626  gcdzeq  12673  eucalgf  12707  eucalginv  12708  lcmgcdlem  12729  qredeu  12749  cncongr1  12755  cncongr2  12756  divnumden  12848  divdenle  12849  phimullem  12877  hashgcdlem  12890  phisum  12893  prm23lt5  12916  pythagtriplem8  12925  pythagtriplem9  12926  pceu  12948  pccl  12952  pcdiv  12955  pcqcl  12959  pcdvds  12968  pcndvds  12970  pcndvds2  12972  pceq0  12975  pcz  12985  pcmpt  12996  fldivp1  13001  pcfac  13003  ennnfonelemjn  13103  mulgnn  13793  mulgnegnn  13799  znf1o  14747  znfi  14751  znhash  14752  znidomb  14754  znrrg  14756  dvexp2  15523  pellexlem1  15791  lgsval4a  15841  lgsabs1  15858  lgssq2  15860