Theorem nnne0 9035

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9034	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2259	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2421	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   0cc0 7896   NNcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  nnne0d  9052  divfnzn  9712  qreccl  9733  fzo1fzo0n0  10276  expnnval  10651  expnegap0  10656  hashnncl  10904  ef0lem  11842  dvdsval3  11973  nndivdvds  11978  modmulconst  12005  dvdsdivcl  12032  divalg2  12108  ndvdssub  12112  nndvdslegcd  12157  divgcdz  12163  divgcdnn  12167  gcdzeq  12214  eucalgf  12248  eucalginv  12249  lcmgcdlem  12270  qredeu  12290  cncongr1  12296  cncongr2  12297  divnumden  12389  divdenle  12390  phimullem  12418  hashgcdlem  12431  phisum  12434  prm23lt5  12457  pythagtriplem8  12466  pythagtriplem9  12467  pceu  12489  pccl  12493  pcdiv  12496  pcqcl  12500  pcdvds  12509  pcndvds  12511  pcndvds2  12513  pceq0  12516  pcz  12526  pcmpt  12537  fldivp1  12542  pcfac  12544  ennnfonelemjn  12644  mulgnn  13332  mulgnegnn  13338  znf1o  14283  znfi  14287  znhash  14288  znidomb  14290  znrrg  14292  dvexp2  15032  lgsval4a  15347  lgsabs1  15364  lgssq2  15366