Theorem nnne0 9332

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9331	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2301	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 686	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2474	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   0cc0 8179   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305

This theorem is used by:  nnne0d  9349  divfnzn  10021  qreccl  10042  fzo1fzo0n0  10595  expnnval  10979  expnegap0  10984  hashnncl  11234  ef0lem  12427  dvdsval3  12558  nndivdvds  12563  modmulconst  12590  dvdsdivcl  12617  divalg2  12693  ndvdssub  12697  nndvdslegcd  12742  divgcdz  12748  divgcdnn  12752  gcdzeq  12799  eucalgf  12833  eucalginv  12834  lcmgcdlem  12855  qredeu  12875  cncongr1  12881  cncongr2  12882  divnumden  12974  divdenle  12975  phimullem  13003  hashgcdlem  13016  phisum  13019  prm23lt5  13042  pythagtriplem8  13051  pythagtriplem9  13052  pceu  13074  pccl  13078  pcdiv  13081  pcqcl  13085  pcdvds  13094  pcndvds  13096  pcndvds2  13098  pceq0  13101  pcz  13111  pcmpt  13122  fldivp1  13127  pcfac  13129  ennnfonelemjn  13293  mulgnn  13929  mulgnegnn  13935  znf1o  14986  znfi  14990  znhash  14991  znidomb  14993  znrrg  14995  dvexp2  15813  pellexlem1  16091  lgsval4a  16141  lgsabs1  16158  lgssq2  16160