Theorem nnne0 9066

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9065	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2268	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 677	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2430	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   0cc0 7927   NNcn 9038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-inn 9039

This theorem is referenced by:  nnne0d  9083  divfnzn  9744  qreccl  9765  fzo1fzo0n0  10309  expnnval  10689  expnegap0  10694  hashnncl  10942  ef0lem  12004  dvdsval3  12135  nndivdvds  12140  modmulconst  12167  dvdsdivcl  12194  divalg2  12270  ndvdssub  12274  nndvdslegcd  12319  divgcdz  12325  divgcdnn  12329  gcdzeq  12376  eucalgf  12410  eucalginv  12411  lcmgcdlem  12432  qredeu  12452  cncongr1  12458  cncongr2  12459  divnumden  12551  divdenle  12552  phimullem  12580  hashgcdlem  12593  phisum  12596  prm23lt5  12619  pythagtriplem8  12628  pythagtriplem9  12629  pceu  12651  pccl  12655  pcdiv  12658  pcqcl  12662  pcdvds  12671  pcndvds  12673  pcndvds2  12675  pceq0  12678  pcz  12688  pcmpt  12699  fldivp1  12704  pcfac  12706  ennnfonelemjn  12806  mulgnn  13495  mulgnegnn  13501  znf1o  14446  znfi  14450  znhash  14451  znidomb  14453  znrrg  14455  dvexp2  15217  lgsval4a  15532  lgsabs1  15549  lgssq2  15551