Theorem nnne0 8946

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8945	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 675	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2401	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   0cc0 7810   NNcn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-inn 8919

This theorem is referenced by:  nnne0d  8963  divfnzn  9620  qreccl  9641  fzo1fzo0n0  10182  expnnval  10522  expnegap0  10527  hashnncl  10774  ef0lem  11667  dvdsval3  11797  nndivdvds  11802  modmulconst  11829  dvdsdivcl  11855  divalg2  11930  ndvdssub  11934  nndvdslegcd  11965  divgcdz  11971  divgcdnn  11975  gcdzeq  12022  eucalgf  12054  eucalginv  12055  lcmgcdlem  12076  qredeu  12096  cncongr1  12102  cncongr2  12103  divnumden  12195  divdenle  12196  phimullem  12224  hashgcdlem  12237  phisum  12239  prm23lt5  12262  pythagtriplem8  12271  pythagtriplem9  12272  pceu  12294  pccl  12298  pcdiv  12301  pcqcl  12305  pcdvds  12313  pcndvds  12315  pcndvds2  12317  pceq0  12320  pcz  12330  pcmpt  12340  fldivp1  12345  pcfac  12347  ennnfonelemjn  12402  mulgnn  12988  mulgnegnn  12992  dvexp2  14146  lgsval4a  14393  lgsabs1  14410  lgssq2  14412