Theorem nnne0 9138

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9137	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2292	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 679	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2454	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   0cc0 7999   NNcn 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-inn 9111

This theorem is referenced by:  nnne0d  9155  divfnzn  9816  qreccl  9837  fzo1fzo0n0  10383  expnnval  10764  expnegap0  10769  hashnncl  11017  ef0lem  12171  dvdsval3  12302  nndivdvds  12307  modmulconst  12334  dvdsdivcl  12361  divalg2  12437  ndvdssub  12441  nndvdslegcd  12486  divgcdz  12492  divgcdnn  12496  gcdzeq  12543  eucalgf  12577  eucalginv  12578  lcmgcdlem  12599  qredeu  12619  cncongr1  12625  cncongr2  12626  divnumden  12718  divdenle  12719  phimullem  12747  hashgcdlem  12760  phisum  12763  prm23lt5  12786  pythagtriplem8  12795  pythagtriplem9  12796  pceu  12818  pccl  12822  pcdiv  12825  pcqcl  12829  pcdvds  12838  pcndvds  12840  pcndvds2  12842  pceq0  12845  pcz  12855  pcmpt  12866  fldivp1  12871  pcfac  12873  ennnfonelemjn  12973  mulgnn  13663  mulgnegnn  13669  znf1o  14615  znfi  14619  znhash  14620  znidomb  14622  znrrg  14624  dvexp2  15386  lgsval4a  15701  lgsabs1  15718  lgssq2  15720