Theorem nnne0 8741

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8740	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2200	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 664	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2360	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   0cc0 7613   NNcn 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-inn 8714

This theorem is referenced by:  nnne0d  8758  divfnzn  9406  qreccl  9427  fzo1fzo0n0  9953  expnnval  10289  expnegap0  10294  hashnncl  10535  ef0lem  11355  dvdsval3  11486  nndivdvds  11488  modmulconst  11514  dvdsdivcl  11537  divalg2  11612  ndvdssub  11616  nndvdslegcd  11643  divgcdz  11649  divgcdnn  11652  gcdzeq  11699  eucalgf  11725  eucalginv  11726  lcmgcdlem  11747  qredeu  11767  cncongr1  11773  cncongr2  11774  divnumden  11863  divdenle  11864  phimullem  11890  hashgcdlem  11892  ennnfonelemjn  11904  dvexp2  12834