Theorem nnne0 9064

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9063	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2268	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 677	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2430	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   0cc0 7925   NNcn 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-inn 9037

This theorem is referenced by:  nnne0d  9081  divfnzn  9742  qreccl  9763  fzo1fzo0n0  10307  expnnval  10687  expnegap0  10692  hashnncl  10940  ef0lem  11971  dvdsval3  12102  nndivdvds  12107  modmulconst  12134  dvdsdivcl  12161  divalg2  12237  ndvdssub  12241  nndvdslegcd  12286  divgcdz  12292  divgcdnn  12296  gcdzeq  12343  eucalgf  12377  eucalginv  12378  lcmgcdlem  12399  qredeu  12419  cncongr1  12425  cncongr2  12426  divnumden  12518  divdenle  12519  phimullem  12547  hashgcdlem  12560  phisum  12563  prm23lt5  12586  pythagtriplem8  12595  pythagtriplem9  12596  pceu  12618  pccl  12622  pcdiv  12625  pcqcl  12629  pcdvds  12638  pcndvds  12640  pcndvds2  12642  pceq0  12645  pcz  12655  pcmpt  12666  fldivp1  12671  pcfac  12673  ennnfonelemjn  12773  mulgnn  13462  mulgnegnn  13468  znf1o  14413  znfi  14417  znhash  14418  znidomb  14420  znrrg  14422  dvexp2  15184  lgsval4a  15499  lgsabs1  15516  lgssq2  15518