Theorem nnne0 8885

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8884	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2229	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 665	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2390	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   0cc0 7753   NNcn 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858

This theorem is referenced by:  nnne0d  8902  divfnzn  9559  qreccl  9580  fzo1fzo0n0  10118  expnnval  10458  expnegap0  10463  hashnncl  10709  ef0lem  11601  dvdsval3  11731  nndivdvds  11736  modmulconst  11763  dvdsdivcl  11788  divalg2  11863  ndvdssub  11867  nndvdslegcd  11898  divgcdz  11904  divgcdnn  11908  gcdzeq  11955  eucalgf  11987  eucalginv  11988  lcmgcdlem  12009  qredeu  12029  cncongr1  12035  cncongr2  12036  divnumden  12128  divdenle  12129  phimullem  12157  hashgcdlem  12170  phisum  12172  prm23lt5  12195  pythagtriplem8  12204  pythagtriplem9  12205  pceu  12227  pccl  12231  pcdiv  12234  pcqcl  12238  pcdvds  12246  pcndvds  12248  pcndvds2  12250  pceq0  12253  pcz  12263  pcmpt  12273  fldivp1  12278  pcfac  12280  ennnfonelemjn  12335  dvexp2  13316  lgsval4a  13563  lgsabs1  13580  lgssq2  13582