Theorem nnne0 8658

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8657	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2177	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 647	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2336	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   =/= wne 2282   0cc0 7547   NNcn 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-inn 8631

This theorem is referenced by:  nnne0d  8675  divfnzn  9315  qreccl  9336  fzo1fzo0n0  9853  expnnval  10189  expnegap0  10194  hashnncl  10435  ef0lem  11217  dvdsval3  11345  nndivdvds  11347  modmulconst  11373  dvdsdivcl  11396  divalg2  11471  ndvdssub  11475  nndvdslegcd  11502  divgcdz  11508  divgcdnn  11511  gcdzeq  11556  eucalgf  11582  eucalginv  11583  lcmgcdlem  11604  qredeu  11624  cncongr1  11630  cncongr2  11631  divnumden  11719  divdenle  11720  phimullem  11746  hashgcdlem  11748  ennnfonelemjn  11760