Theorem nnne0 8945

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8944	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 675	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2401	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   0cc0 7810   NNcn 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-inn 8918

This theorem is referenced by:  nnne0d  8962  divfnzn  9619  qreccl  9640  fzo1fzo0n0  10180  expnnval  10520  expnegap0  10525  hashnncl  10770  ef0lem  11663  dvdsval3  11793  nndivdvds  11798  modmulconst  11825  dvdsdivcl  11850  divalg2  11925  ndvdssub  11929  nndvdslegcd  11960  divgcdz  11966  divgcdnn  11970  gcdzeq  12017  eucalgf  12049  eucalginv  12050  lcmgcdlem  12071  qredeu  12091  cncongr1  12097  cncongr2  12098  divnumden  12190  divdenle  12191  phimullem  12219  hashgcdlem  12232  phisum  12234  prm23lt5  12257  pythagtriplem8  12266  pythagtriplem9  12267  pceu  12289  pccl  12293  pcdiv  12296  pcqcl  12300  pcdvds  12308  pcndvds  12310  pcndvds2  12312  pceq0  12315  pcz  12325  pcmpt  12335  fldivp1  12340  pcfac  12342  ennnfonelemjn  12397  mulgnn  12943  mulgnegnn  12947  dvexp2  14069  lgsval4a  14316  lgsabs1  14333  lgssq2  14335