Theorem edgval 16301

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgval	|- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )

Proof of Theorem edgval

Dummy variables g u w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16299	. . . 4 |- Edg = ( g e. _V |-> ran (iEdg ` g ) )
2	1	mptrcl 5788	. . 3 |- ( x e. (Edg ` G ) -> G e. _V )
3		elrn2g 4970	. . . . 5 |- ( x e. ran (iEdg ` G ) -> ( x e. ran (iEdg ` G ) <-> E. w <. w , x >. e. (iEdg ` G ) ) )
4	3	ibi 176	. . . 4 |- ( x e. ran (iEdg ` G ) -> E. w <. w , x >. e. (iEdg ` G ) )
5		elex2 2838	. . . . 5 |- ( <. w , x >. e. (iEdg ` G ) -> E. u u e. (iEdg ` G ) )
6	5	exlimiv 1651	. . . 4 |- ( E. w <. w , x >. e. (iEdg ` G ) -> E. u u e. (iEdg ` G ) )
7		df-iedg 16256	. . . . . 6 |- iEdg = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) )
8	7	mptrcl 5788	. . . . 5 |- ( u e. (iEdg ` G ) -> G e. _V )
9	8	exlimiv 1651	. . . 4 |- ( E. u u e. (iEdg ` G ) -> G e. _V )
10	4, 6, 9	3syl 17	. . 3 |- ( x e. ran (iEdg ` G ) -> G e. _V )
11		edgvalg 16300	. . . 4 |- ( G e. _V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
12	11	eleq2d 2308	. . 3 |- ( G e. _V -> ( x e. (Edg ` G ) <-> x e. ran (iEdg ` G ) ) )
13	2, 10, 12	pm5.21nii 716	. 2 |- ( x e. (Edg ` G ) <-> x e. ran (iEdg ` G ) )
14	13	eqriv 2235	1 |- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   <.cop 3712   X. cxp 4772   ran crn 4775   ` cfv 5377   2ndc2nd 6373  .efcedgf 16245  iEdgciedg 16254  Edgcedg 16298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-2nd 6375  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-edgf 16246  df-iedg 16256  df-edg 16299

This theorem is used by:  subgrprop3  16503  0grsubgr  16505  0uhgrsubgr  16506  subgruhgredgdm  16511  uhgrspansubgrlem  16517  1loopgredg  16545