Theorem edgval 16055

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgval	|- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )

Proof of Theorem edgval

Dummy variables g u w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16053	. . . 4 |- Edg = ( g e. _V |-> ran (iEdg ` g ) )
2	1	mptrcl 5760	. . 3 |- ( x e. (Edg ` G ) -> G e. _V )
3		elrn2g 4945	. . . . 5 |- ( x e. ran (iEdg ` G ) -> ( x e. ran (iEdg ` G ) <-> E. w <. w , x >. e. (iEdg ` G ) ) )
4	3	ibi 176	. . . 4 |- ( x e. ran (iEdg ` G ) -> E. w <. w , x >. e. (iEdg ` G ) )
5		elex2 2830	. . . . 5 |- ( <. w , x >. e. (iEdg ` G ) -> E. u u e. (iEdg ` G ) )
6	5	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. w <. w , x >. e. (iEdg ` G ) -> E. u u e. (iEdg ` G ) )
7		df-iedg 16010	. . . . . 6 |- iEdg = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) )
8	7	mptrcl 5760	. . . . 5 |- ( u e. (iEdg ` G ) -> G e. _V )
9	8	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. u u e. (iEdg ` G ) -> G e. _V )
10	4, 6, 9	3syl 17	. . 3 |- ( x e. ran (iEdg ` G ) -> G e. _V )
11		edgvalg 16054	. . . 4 |- ( G e. _V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
12	11	eleq2d 2302	. . 3 |- ( G e. _V -> ( x e. (Edg ` G ) <-> x e. ran (iEdg ` G ) ) )
13	2, 10, 12	pm5.21nii 712	. 2 |- ( x e. (Edg ` G ) <-> x e. ran (iEdg ` G ) )
14	13	eqriv 2229	1 |- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )

Syntax hints:   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   ifcif 3620   <.cop 3692   X. cxp 4747   ran crn 4750   ` cfv 5352   2ndc2nd 6333  .efcedgf 15999  iEdgciedg 16008  Edgcedg 16052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-2nd 6335  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-edgf 16000  df-iedg 16010  df-edg 16053

This theorem is referenced by:  subgrprop3  16257  0grsubgr  16259  0uhgrsubgr  16260  subgruhgredgdm  16265  uhgrspansubgrlem  16271  1loopgredg  16299