Theorem edgval 15917

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgval	⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)

Proof of Theorem edgval

Dummy variables 𝑔 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15915	. . . 4 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2	1	mptrcl 5729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3		elrn2g 4920	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) ↔ ∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺)))
4	3	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺))
5		elex2 2819	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺) → ∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺))
6	5	exlimiv 1646	. . . 4 ⊢ (∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺) → ∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺))
7		df-iedg 15872	. . . . . 6 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
8	7	mptrcl 5729	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
9	8	exlimiv 1646	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
10	4, 6, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
11		edgvalg 15916	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
12	11	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
13	2, 10, 12	pm5.21nii 711	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺))
14	13	eqriv 2228	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ifcif 3605  ⟨cop 3672   × cxp 4723  ran crn 4726  ‘cfv 5326  2^nd c2nd 6302  .efcedgf 15861  iEdgciedg 15870  Edgcedg 15914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-2nd 6304  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-edgf 15862  df-iedg 15872  df-edg 15915

This theorem is referenced by:  subgrprop3  16119  0grsubgr  16121  0uhgrsubgr  16122  subgruhgredgdm  16127  uhgrspansubgrlem  16133  1loopgredg  16161