Theorem edgval 15984

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgval	⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)

Proof of Theorem edgval

Dummy variables 𝑔 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15982	. . . 4 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2	1	mptrcl 5738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3		elrn2g 4926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) ↔ ∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺)))
4	3	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺))
5		elex2 2820	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺) → ∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺))
6	5	exlimiv 1647	. . . 4 ⊢ (∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺) → ∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺))
7		df-iedg 15939	. . . . . 6 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
8	7	mptrcl 5738	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
9	8	exlimiv 1647	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
10	4, 6, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
11		edgvalg 15983	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
12	11	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
13	2, 10, 12	pm5.21nii 712	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺))
14	13	eqriv 2228	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ifcif 3607  ⟨cop 3676   × cxp 4729  ran crn 4732  ‘cfv 5333  2^nd c2nd 6311  .efcedgf 15928  iEdgciedg 15937  Edgcedg 15981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-2nd 6313  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-edgf 15929  df-iedg 15939  df-edg 15982

This theorem is referenced by:  subgrprop3  16186  0grsubgr  16188  0uhgrsubgr  16189  subgruhgredgdm  16194  uhgrspansubgrlem  16200  1loopgredg  16228