Theorem edgval 15901

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgval	⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)

Proof of Theorem edgval

Dummy variables 𝑔 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15899	. . . 4 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2	1	mptrcl 5725	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3		elrn2g 4918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) ↔ ∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺)))
4	3	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺))
5		elex2 2817	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺) → ∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺))
6	5	exlimiv 1644	. . . 4 ⊢ (∃𝑤⟨𝑤, 𝑥⟩ ∈ (iEdg‘𝐺) → ∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺))
7		df-iedg 15856	. . . . . 6 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
8	7	mptrcl 5725	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
9	8	exlimiv 1644	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
10	4, 6, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
11		edgvalg 15900	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
12	11	eleq2d 2299	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
13	2, 10, 12	pm5.21nii 709	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ran (iEdg‘𝐺))
14	13	eqriv 2226	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ifcif 3603  ⟨cop 3670   × cxp 4721  ran crn 4724  ‘cfv 5324  2^nd c2nd 6297  .efcedgf 15845  iEdgciedg 15854  Edgcedg 15898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fo 5330  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-2nd 6299  df-sub 8342  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-dec 9602  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-edgf 15846  df-iedg 15856  df-edg 15899

This theorem is referenced by:  1loopgredg  16110