Theorem elfz5 9581

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9127	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		eluzel2 9123	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 301	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		elfz 9579	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	4	3expa 1146	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	3, 5	sylan 278	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		eluzle 9130	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
8	7	biantrurd 300	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 271	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	6, 9	bitr4d 190	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690   ≤ cle 7620  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118  ...cfz 9573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-neg 7753  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574

This theorem is referenced by:  fzsplit2  9613  fznn0sub2  9688  iseqf1olemjpcl  10045  iseqf1olemqpcl  10046  seq3f1oleml  10053  bcval5  10286  seq3coll  10362  fsum0diaglem  10983  mertenslemi1  11078