ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz5 GIF version

Theorem elfz5 9944
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9467 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 eluzel2 9463 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2jca 304 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4 elfz 9942 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543expa 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
63, 5sylan 281 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 eluzle 9470 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
87biantrurd 303 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
98adantr 274 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
106, 9bitr4d 190 1 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2135   class class class wbr 3977  cfv 5183  (class class class)co 5837  cle 7926  cz 9183  cuz 9458  ...cfz 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-neg 8064  df-z 9184  df-uz 9459  df-fz 9937
This theorem is referenced by:  fzsplit2  9976  fznn0sub2  10054  iseqf1olemjpcl  10421  iseqf1olemqpcl  10422  seq3f1oleml  10429  bcval5  10666  seq3coll  10742  fsum0diaglem  11368  mertenslemi1  11463  fprodmul  11519  eulerthlemrprm  12147  eulerthlema  12148  pcfac  12266
  Copyright terms: Public domain W3C validator