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Theorem fzsplit2 10404
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10378 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2 eluzel2 9876 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
32adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ZZ )
4 zlelttric 9639 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
51, 3, 4syl2anr 290 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
6 elfzuz 10374 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
7 elfz5 10370 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
86, 3, 7syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
9 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
10 eluzelz 9881 . . . . . . . . 9 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
12 eluz 9885 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
1311, 1, 12syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
14 elfzuz3 10375 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
1514adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16 elfzuzb 10372 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
1716rbaib 929 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
19 zltp1le 9649 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
203, 1, 19syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
2113, 18, 203bitr4d 220 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> K < x ) )
228, 21orbi12d 801 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x <_ K \/ K < x ) ) )
235, 22mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 10374 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2524adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27 elfzuz3 10375 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
28 uztrn 9889 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
2926, 27, 28syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
30 elfzuzb 10372 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
32 elfzuz 10374 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
33 uztrn 9889 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
3432, 9, 33syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35 elfzuz3 10375 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3635adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 805 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3923, 38impbida 600 . . 3 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
40 elun 3364 . . 3 |- ( x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
4139, 40bitr4di 198 . 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2232 1 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362
This theorem is referenced by:  fzsplit  10405  fzspl  10425  fzpred  10426  fz0to4untppr  10480  gausslemma2dlem6  16066
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