ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 Unicode version

Theorem fzsplit2 10006
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 9981 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
2 eluzel2 9492 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
32adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ZZ )
4 zlelttric 9257 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
51, 3, 4syl2anr 288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
6 elfzuz 9977 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 elfz5 9973 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... K )  <->  x  <_  K ) )
86, 3, 7syl2anr 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  <-> 
x  <_  K )
)
9 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluzelz 9496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
12 eluz 9500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
1311, 1, 12syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
14 elfzuz3 9978 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1514adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
16 elfzuzb 9975 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  x ) ) )
1716rbaib 916 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
19 zltp1le 9266 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
203, 1, 19syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
2113, 18, 203bitr4d 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
K  <  x )
)
228, 21orbi12d 788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  <_  K  \/  K  < 
x ) ) )
235, 22mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 9977 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2524adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
27 elfzuz3 9978 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)
28 uztrn 9503 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
2926, 27, 28syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
30 elfzuzb 9975 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 415 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
32 elfzuz 9977 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
33 uztrn 9503 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3432, 9, 33syl2anr 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
35 elfzuz3 9978 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3635adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 415 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 792 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3923, 38impbida 591 . . 3  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) ) )
40 elun 3268 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... K )  u.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) )
4139, 40bitr4di 197 . 2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  x  e.  (
( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2168 1  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141    u. cun 3119   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775    + caddc 7777    < clt 7954    <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966
This theorem is referenced by:  fzsplit  10007  fzpred  10026  fz0to4untppr  10080
  Copyright terms: Public domain W3C validator