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Theorem fzsplit2 10171
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10146 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2 eluzel2 9652 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
32adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ZZ )
4 zlelttric 9416 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
51, 3, 4syl2anr 290 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
6 elfzuz 10142 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
7 elfz5 10138 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
86, 3, 7syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
9 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
10 eluzelz 9656 . . . . . . . . 9 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
12 eluz 9660 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
1311, 1, 12syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
14 elfzuz3 10143 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
1514adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16 elfzuzb 10140 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
1716rbaib 922 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
19 zltp1le 9426 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
203, 1, 19syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
2113, 18, 203bitr4d 220 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> K < x ) )
228, 21orbi12d 794 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x <_ K \/ K < x ) ) )
235, 22mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 10142 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2524adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27 elfzuz3 10143 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
28 uztrn 9664 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
2926, 27, 28syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
30 elfzuzb 10140 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
32 elfzuz 10142 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
33 uztrn 9664 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
3432, 9, 33syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35 elfzuz3 10143 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3635adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 798 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3923, 38impbida 596 . . 3 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
40 elun 3313 . . 3 |- ( x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
4139, 40bitr4di 198 . 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2202 1 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   u. cun 3163   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   1c1 7925   + caddc 7927   < clt 8106   <_ cle 8107   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   ...cfz 10129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130
This theorem is referenced by:  fzsplit  10172  fzpred  10191  fz0to4untppr  10245  gausslemma2dlem6  15486
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