ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 Unicode version
Theorem fzsplit2 9861
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 9837 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2 eluzel2 9355 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
32adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ZZ )
4 zlelttric 9123 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
51, 3, 4syl2anr 288 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
6 elfzuz 9833 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
7 elfz5 9829 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
86, 3, 7syl2anr 288 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
9 simpl 108 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
10 eluzelz 9359 . . . . . . . . 9 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
12 eluz 9363 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
1311, 1, 12syl2an 287 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
14 elfzuz3 9834 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16 elfzuzb 9831 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
1716rbaib 907 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
19 zltp1le 9132 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
203, 1, 19syl2an 287 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
2113, 18, 203bitr4d 219 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> K < x ) )
228, 21orbi12d 783 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x <_ K \/ K < x ) ) )
235, 22mpbird 166 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 9833 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2524adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27 elfzuz3 9834 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
28 uztrn 9366 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
2926, 27, 28syl2an 287 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
30 elfzuzb 9831 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 414 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
32 elfzuz 9833 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
33 uztrn 9366 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
3432, 9, 33syl2anr 288 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35 elfzuz3 9834 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3635adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 414 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 787 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3923, 38impbida 586 . . 3 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
40 elun 3222 . . 3 |- ( x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
4139, 40syl6bbr 197 . 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2138 1 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822
This theorem is referenced by:  fzsplit  9862  fzpred  9881
  Copyright terms: Public domain W3C validator