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Theorem fzsplit2 9785
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 9761 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
2 eluzel2 9287 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
32adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ZZ )
4 zlelttric 9057 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
51, 3, 4syl2anr 288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
6 elfzuz 9757 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 elfz5 9753 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... K )  <->  x  <_  K ) )
86, 3, 7syl2anr 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  <-> 
x  <_  K )
)
9 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluzelz 9291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
12 eluz 9295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
1311, 1, 12syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
14 elfzuz3 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1514adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
16 elfzuzb 9755 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  x ) ) )
1716rbaib 891 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
19 zltp1le 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
203, 1, 19syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
2113, 18, 203bitr4d 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
K  <  x )
)
228, 21orbi12d 767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  <_  K  \/  K  < 
x ) ) )
235, 22mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 9757 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2524adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
27 elfzuz3 9758 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)
28 uztrn 9298 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
2926, 27, 28syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
30 elfzuzb 9755 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
32 elfzuz 9757 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
33 uztrn 9298 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3432, 9, 33syl2anr 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
35 elfzuz3 9758 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3635adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 771 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3923, 38impbida 570 . . 3  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) ) )
40 elun 3187 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... K )  u.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) )
4139, 40syl6bbr 197 . 2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  x  e.  (
( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2115 1  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465    u. cun 3039   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282   ...cfz 9745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746
This theorem is referenced by:  fzsplit  9786  fzpred  9805
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