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Theorem fzsplit2 9781
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 9757 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
2 eluzel2 9283 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
32adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ZZ )
4 zlelttric 9053 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
51, 3, 4syl2anr 286 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
6 elfzuz 9753 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 elfz5 9749 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... K )  <->  x  <_  K ) )
86, 3, 7syl2anr 286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  <-> 
x  <_  K )
)
9 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluzelz 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
12 eluz 9291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
1311, 1, 12syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
14 elfzuz3 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1514adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
16 elfzuzb 9751 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  x ) ) )
1716rbaib 889 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
19 zltp1le 9062 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
203, 1, 19syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
2113, 18, 203bitr4d 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
K  <  x )
)
228, 21orbi12d 765 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  <_  K  \/  K  < 
x ) ) )
235, 22mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 9753 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2524adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
27 elfzuz3 9754 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)
28 uztrn 9294 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
2926, 27, 28syl2an 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
30 elfzuzb 9751 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
32 elfzuz 9753 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
33 uztrn 9294 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3432, 9, 33syl2anr 286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
35 elfzuz3 9754 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3635adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 769 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3923, 38impbida 568 . . 3  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) ) )
40 elun 3185 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... K )  u.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) )
4139, 40syl6bbr 197 . 2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  x  e.  (
( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2113 1  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463    u. cun 3037   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  fzsplit  9782  fzpred  9801
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