Theorem fzsplit2 10455

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit2	|- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10428	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2		eluzel2 9926	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ZZ )
4		zlelttric 9689	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
5	1, 3, 4	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
6		elfzuz 10424	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
7		elfz5 10420	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
8	6, 3, 7	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
9		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzelz 9931	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
12		eluz 9935	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
13	11, 1, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
14		elfzuz3 10425	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16		elfzuzb 10422	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
17	16	rbaib 933	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
18	15, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
19		zltp1le 9699	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
20	3, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
21	13, 18, 20	3bitr4d 220	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> K < x ) )
22	8, 21	orbi12d 805	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x <_ K \/ K < x ) ) )
23	5, 22	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
24		elfzuz 10424	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27		elfzuz3 10425	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
28		uztrn 9939	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
29	26, 27, 28	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
30		elfzuzb 10422	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
31	25, 29, 30	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
32		elfzuz 10424	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
33		uztrn 9939	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
34	32, 9, 33	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35		elfzuz3 10425	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
36	35	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
37	34, 36, 30	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
38	31, 37	jaodan 809	. . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
39	23, 38	impbida 604	. . 3 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
40		elun 3370	. . 3 |- ( x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
41	39, 40	bitr4di 198	. 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
42	41	eqrdv 2236	1 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  fzsplit  10456  fzspl  10476  fzpred  10477  fz0to4untppr  10531  gausslemma2dlem6  16186