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Theorem lgsquadlem2 15286

Description: Lemma for lgsquad 15288. Count the members of

with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 15285 to get the total count of lattice points in

(up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	$\$
lgseisen.2	$\$
lgseisen.3
lgsquad.4
lgsquad.5
lgsquad.6	$/\$ $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquadlem2	♯

Distinct variable groups:

Proof of Theorem lgsquadlem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 $\$
2		lgseisen.2	. . 3 $\$
3		lgseisen.3	. . 3
4	1, 2, 3	lgseisen 15282	. 2
5		lgsquad.4	. . . . . 6
6	5	oveq2i 5933	. . . . 5
7	6	sumeq1i 11512	. . . 4
8	1, 5	gausslemma2dlem0b 15258	. . . . . . . . . . 11
9	8	nnzd 9444	. . . . . . . . . 10
10		2nn 9149	. . . . . . . . . 10
11		znq 9695	. . . . . . . . . 10 $/\$
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . 9
13	12	flqcld 10352	. . . . . . . 8
14	13	zred 9445	. . . . . . 7
15	14	ltp1d 8954	. . . . . 6
16		fzdisj 10124	. . . . . 6
17	15, 16	syl 14	. . . . 5
18	8	nnrpd 9766	. . . . . . . . . . 11
19	18	rphalfcld 9781	. . . . . . . . . 10
20	19	rpge0d 9772	. . . . . . . . 9
21		flqge0nn0 10368	. . . . . . . . 9 $/\$
22	12, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . 8
23	8	nnnn0d 9299	. . . . . . . 8
24	8	nnred 9000	. . . . . . . . 9
25		rphalflt 9755	. . . . . . . . . . 11
26	18, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10
27		flqlt 10358	. . . . . . . . . . 11 $/\$
28	12, 9, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
29	26, 28	mpbid 147	. . . . . . . . 9
30	14, 24, 29	ltled 8143	. . . . . . . 8
31		elfz2nn0 10184	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	22, 23, 30, 31	syl3anbrc 1183	. . . . . . 7
33		nn0uz 9633	. . . . . . . . 9
34	23, 33	eleqtrdi 2289	. . . . . . . 8
35		elfzp12 10171	. . . . . . . 8 $\/$
36	34, 35	syl 14	. . . . . . 7 $\/$
37	32, 36	mpbid 147	. . . . . 6 $\/$
38		un0 3484	. . . . . . . . 9
39		uncom 3307	. . . . . . . . 9
40	38, 39	eqtr3i 2219	. . . . . . . 8
41		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10
42		fz10 10118	. . . . . . . . . 10
43	41, 42	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9
44		oveq1 5929	. . . . . . . . . . 11
45		0p1e1 9101	. . . . . . . . . . 11
46	44, 45	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10
47	46	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
48	43, 47	uneq12d 3318	. . . . . . . 8
49	40, 48	eqtr4id 2248	. . . . . . 7
50		fzsplit 10123	. . . . . . . 8
51	45	oveq1i 5932	. . . . . . . 8
52	50, 51	eleq2s 2291	. . . . . . 7
53	49, 52	jaoi 717	. . . . . 6 $\/$
54	37, 53	syl 14	. . . . 5
55		1zzd 9350	. . . . . 6
56	55, 9	fzfigd 10508	. . . . 5
57	2	gausslemma2dlem0a 15257	. . . . . . . . . 10
58	57	nnzd 9444	. . . . . . . . 9
59	1	gausslemma2dlem0a 15257	. . . . . . . . . 10
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
61		znq 9695	. . . . . . . . 9 $/\$
62	58, 60, 61	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 $/\$
63		elfznn 10126	. . . . . . . . . . . 12
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65		nnmulcl 9008	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	10, 64, 65	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	nnzd 9444	. . . . . . . . 9 $/\$
68		zq 9697	. . . . . . . . 9
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
70		qmulcl 9708	. . . . . . . 8 $/\$
71	62, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$
72	57	nnrpd 9766	. . . . . . . . . . 11
73	59	nnrpd 9766	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	rpdivcld 9786	. . . . . . . . . 10
75	74	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
76	66	nnrpd 9766	. . . . . . . . 9 $/\$
77	75, 76	rpmulcld 9785	. . . . . . . 8 $/\$
78	77	rpge0d 9772	. . . . . . 7 $/\$
79		flqge0nn0 10368	. . . . . . 7 $/\$
80	71, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$
81	80	nn0cnd 9301	. . . . 5 $/\$
82	17, 54, 56, 81	fsumsplit 11556	. . . 4
83	7, 82	eqtr3id 2243	. . 3
84	83	oveq2d 5938	. 2
85		neg1cn 9092	. . . . 5
86	85	a1i 9	. . . 4
87	13	peano2zd 9448	. . . . . 6
88	87, 9	fzfigd 10508	. . . . 5
89		ssun2 3327	. . . . . . . 8
90	89, 54	sseqtrrid 3234	. . . . . . 7
91	90	sselda 3183	. . . . . 6 $/\$
92	91, 80	syldan 282	. . . . 5 $/\$
93	88, 92	fsumnn0cl 11552	. . . 4
94	55, 13	fzfigd 10508	. . . . 5
95		ssun1 3326	. . . . . . . 8
96	95, 54	sseqtrrid 3234	. . . . . . 7
97	96	sselda 3183	. . . . . 6 $/\$
98	97, 80	syldan 282	. . . . 5 $/\$
99	94, 98	fsumnn0cl 11552	. . . 4
100	86, 93, 99	expaddd 10752	. . 3
101		lgsquad.5	. . . . . . 7
102		lgsquad.6	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	1, 2, 3, 5, 101, 102	lgsquadlemofi 15284	. . . . . 6
104		hashcl 10858	. . . . . 6 ♯
105	103, 104	syl 14	. . . . 5 ♯
106	1, 2, 3, 5, 101, 102	lgsquadlemsfi 15283	. . . . . . 7
107		opabssxp 4737	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108	102, 107	eqsstri 3215	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	sseli 3179	. . . . . . . . . . . 12
110		xp1st 6223	. . . . . . . . . . . 12
111	109, 110	syl 14	. . . . . . . . . . 11
112	111	elfzelzd 10098	. . . . . . . . . 10
113	112	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
114		dvdsdc 11947	. . . . . . . . 9 $/\$ DECID
115	10, 113, 114	sylancr 414	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
116	115	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 DECID
117	106, 116	ssfirab 6995	. . . . . 6
118		hashcl 10858	. . . . . 6 ♯
119	117, 118	syl 14	. . . . 5 ♯
120	86, 105, 119	expaddd 10752	. . . 4 ♯ ♯ ♯ ♯
121	97, 66	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122		1zzd 9350	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	98	nn0zd 9443	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	122, 123	fzfigd 10508	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125		xpsnen2g 6888	. . . . . . . . . . 11 $/\$
126	121, 124, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$
127		snfig 6873	. . . . . . . . . . . . 13
128	121, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129		xpfi 6991	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	128, 124, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131		hashen 10861	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ♯ ♯
132	130, 124, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ ♯ ♯
133	126, 132	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ ♯ ♯
134		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . . . 13
135	102	relopabiv 4789	. . . . . . . . . . . . 13
136		relss 4750	. . . . . . . . . . . . 13
137	134, 135, 136	mp2 16	. . . . . . . . . . . 12
138		relxp 4772	. . . . . . . . . . . 12
139	102	eleq2i 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
140		opabidw 4291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	139, 140	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
142		anass 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	121	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
144	143	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
145	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
146	145	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
147	146	rehalfcld 9235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
148	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
149	148	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
150		elfzle2 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
152		elfzelz 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
153		flqge 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
154	12, 152, 153	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
155	151, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
156		elfznn 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
158	157	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
159		2re 9057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
160	159	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
161		2pos 9078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
162	161	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
163		lemuldiv2 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
164	158, 148, 160, 162, 163	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
165	155, 164	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
166	165	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
167	146	ltm1d 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
168		peano2rem 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
169	146, 168	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
170	159	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
171	161	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
172		ltdiv1 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 146, 170, 171, 172	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
174	167, 173	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
175	5, 174	eqbrtrid 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
176	144, 149, 147, 166, 175	lelttrd 8149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
177	145	nnrpd 9766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
178		rphalflt 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
179	177, 178	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
180	144, 147, 146, 176, 179	lttrd 8150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
181	143	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
182	145	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
183		zltnle 9369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
184	181, 182, 183	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
185	180, 184	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
186	1	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
187	186	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
188		prmz 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
190		dvdsle 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
191	189, 143, 190	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
192	185, 191	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
193	2	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
194		prmrp 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
195	186, 193, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
196	3, 195	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
197	196	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
198	193	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
199		prmz 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
200	198, 199	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
201		coprmdvds 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
202	189, 200, 181, 201	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
203	197, 202	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
204	192, 203	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
205		nnz 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
206	205	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
207		dvdsmul2 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
208	206, 189, 207	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
209		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
210	208, 209	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
211	210	necon3bd 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
212	204, 211	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
213		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
214	213, 145	nnmulcld 9036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
215	214	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
216	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
217	216, 121	nnmulcld 9036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
218	217	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
219	218	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
220		zltlen 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
221	215, 219, 220	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
222	212, 221	mpbiran2d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
223		nnre 8994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
224	223	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
225	218	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
226	145	nngt0d 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
227		lemuldiv 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
228	224, 225, 146, 226, 227	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
229	216	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
230	229	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
231	143	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
232	145	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
233	146, 226	gt0ap0d 8653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #
234	230, 231, 232, 233	div23apd 8852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
235	234	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
236	222, 228, 235	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
237	229	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
238	229	nngt0d 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
239		ltmul2 8880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
240	144, 147, 237, 238, 239	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
241	176, 240	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
242		2cnd 9060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
243	170, 171	gt0ap0d 8653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ #
244		divassap 8714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ #
245		div23ap 8715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ #
246	244, 245	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ #
247	230, 232, 242, 243, 246	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
248	241, 247	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
249	214	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
250	237	rehalfcld 9235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
251	250, 146	remulcld 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
252		lttr 8098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
253	249, 225, 251, 252	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
254	248, 253	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
255		ltmul1 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
256	224, 250, 146, 226, 255	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
257	254, 256	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
258		peano2rem 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
259	237, 258	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
260	259	recnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
261	230, 260, 242, 243	divsubdirapd 8854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
262	101	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
263	261, 262	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
264		ax-1cn 7970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
265		nncan 8253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
266	230, 264, 265	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
267	266	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
268		halflt1 9205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
269	267, 268	eqbrtrdi 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
270	263, 269	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
271	2, 101	gausslemma2dlem0b 15258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
272	271	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
273	272	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
274		1red 8039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
275	250, 273, 274	ltsubadd2d 8567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
276	270, 275	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
277		peano2re 8160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
278	273, 277	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
279		lttr 8098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
280	224, 250, 278, 279	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
281	276, 280	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
282	257, 281	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
283		nnleltp1 9382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
284	213, 272, 283	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
285	282, 284	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
286	285	pm4.71rd 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
287	97, 71	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
288		flqge 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
289	287, 205, 288	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
290	236, 286, 289	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
291	290	pm5.32da 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
292	142, 291	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
293	292	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
294		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
295		nnuz 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
296	121, 295	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
297	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
298		elfz5 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
299	296, 297, 298	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
300	165, 299	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
301	300	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
302	294, 301	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
303	302	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
304	271	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
305	304	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
306		fznn 10161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
307	305, 306	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
308	303, 307	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
309		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
310	121	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
311	216	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
312	310, 311	mulcomd 8046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
313	309, 312	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
314	313	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
315	308, 314	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
316	287	flqcld 10352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
317		fznn 10161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
318	316, 317	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
319	318	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
320	293, 315, 319	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
321	141, 320	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
322	321	pm5.32da 452	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
323		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
324		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
325	323, 324	op1std 6206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
326	325	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
327		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
328	326, 327	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . 15
329	328	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
330	329	biancomi 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
331		opelxp 4693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
332		velsn 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15
333	332	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
334	331, 333	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
335	322, 330, 334	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
336	137, 138, 335	eqrelrdv 4759	. . . . . . . . . . 11 $/\$
337	336	eqcomd 2202	. . . . . . . . . 10 $/\$
338	337	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 $/\$ ♯ ♯
339		hashfz1 10860	. . . . . . . . . 10 ♯
340	98, 339	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ♯
341	133, 338, 340	3eqtr3rd 2238	. . . . . . . 8 $/\$ ♯
342	341	sumeq2dv 11517	. . . . . . 7 ♯
343	106	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
344	97, 67	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$
345		zdceq 9398	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
346	344, 112, 345	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID
347	346	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 $/\$ DECID
348	343, 347	ssfirab 6995	. . . . . . . 8 $/\$
349		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16
350	349	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15
351	350	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
352	351	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . 13
353	352	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
354	353	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
355	157	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
356	355	adantrr 479	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
357		2cnd 9060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
358		2ap0 9080	. . . . . . . . . . . . 13 #
359	358	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
360	356, 357, 359	divcanap3d 8819	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
361	354, 360	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
362	361	ralrimivva 2579	. . . . . . . . 9
363		invdisj 4027	. . . . . . . . 9 Disj
364	362, 363	syl 14	. . . . . . . 8 Disj
365	94, 348, 364	hashiun 11627	. . . . . . 7 ♯ ♯
366		iunrab 3964	. . . . . . . . 9
367		2cn 9058	. . . . . . . . . . . . . 14
368		zcn 9328	. . . . . . . . . . . . . . 15
369	368	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
370		mulcom 8006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
371	367, 369, 370	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
372	371	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
373	372	rexbidva 2494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
374	152	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
375	374	reximi2 2593	. . . . . . . . . . . 12
376		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
377		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
378	108, 377	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
379	378, 110	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
380	379	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
381		elfzle2 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
382	380, 381	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
383	376, 382	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
384		zre 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
385	384	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
386	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
387	159	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
388	161	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
389	385, 386, 387, 388, 163	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
390	383, 389	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
391	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
392		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
393	391, 392, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
394	390, 393	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
395		2t0e0 9147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
396		elfznn 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
397	380, 396	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
398	376, 397	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
399	398	nngt0d 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
400	395, 399	eqbrtrid 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
401		0red 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
402		ltmul2 8880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
403	401, 385, 387, 388, 402	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
404	400, 403	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
405		elnnz 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
406	392, 404, 405	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
407	406, 295	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
408	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
409		elfz5 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
410	407, 408, 409	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
411	394, 410	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
412	411, 376	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
413	412	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
414	413	reximdv2 2596	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
415	375, 414	impbid2 143	. . . . . . . . . . 11 $/\$
416		2z 9351	. . . . . . . . . . . 12
417	379	elfzelzd 10098	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
418		divides 11938	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
419	416, 417, 418	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 $/\$
420	373, 415, 419	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 $/\$
421	420	rabbidva 2751	. . . . . . . . 9
422	366, 421	eqtrid 2241	. . . . . . . 8
423	422	fveq2d 5562	. . . . . . 7 ♯ ♯
424	342, 365, 423	3eqtr2d 2235	. . . . . 6 ♯
425	424	oveq2d 5938	. . . . 5 ♯
426	1, 2, 3, 5, 101, 102	lgsquadlem1 15285	. . . . 5 ♯
427	425, 426	oveq12d 5940	. . . 4 ♯ ♯
428	120, 427	eqtr4d 2232	. . 3 ♯ ♯
429		inrab 3435	. . . . . . 7 $/\$
430		pm3.24 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
431	430	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
432	431	ralrimivw 2571	. . . . . . . 8 $/\$
433		rabeq0 3480	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
434	432, 433	sylibr 134	. . . . . . 7 $/\$
435	429, 434	eqtrid 2241	. . . . . 6
436		hashun 10882	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ♯ ♯ ♯
437	117, 103, 435, 436	syl3anc 1249	. . . . 5 ♯ ♯ ♯
438		unrab 3434	. . . . . . 7 $\/$
439		rabid2 2674	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$
440	10, 112, 114	sylancr 414	. . . . . . . . 9 DECID
441		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 DECID $\/$
442	440, 441	syl 14	. . . . . . . 8 $\/$
443	439, 442	mprgbir 2555	. . . . . . 7 $\/$
444	438, 443	eqtr4i 2220	. . . . . 6
445	444	fveq2i 5561	. . . . 5 ♯ ♯
446	437, 445	eqtr3di 2244	. . . 4 ♯ ♯ ♯
447	446	oveq2d 5938	. . 3 ♯ ♯ ♯
448	100, 428, 447	3eqtr2d 2235	. 2 ♯
449	4, 84, 448	3eqtrd 2233	1 ♯

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wral 2475

wrex 2476

crab 2479 $\$ cdif 3154

cun 3155

cin 3156

wss 3157

c0 3450

csn 3622

cop 3625

ciun 3916 Disj wdisj 4010 class class class wbr 4033

copab 4093

cxp 4661

wrel 4668

cfv 5258 (class class class)co 5922

c1st 6196

cen 6797

cfn 6799

cc 7875

cr 7876

cc0 7877

c1 7878

caddc 7880

cmul 7882

clt 8059

cle 8060

cmin 8195

cneg 8196 # cap 8605

cdiv 8696

cn 8987

c2 9038

cn0 9246

cz 9323

cuz 9598

cq 9690

crp 9725

cfz 10080

cfl 10343

cexp 10615 ♯chash 10852

csu 11502

cdvds 11936

cgcd 12085

cprime 12251

clgs 15205

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7968 ax-resscn 7969 ax-1cn 7970 ax-1re 7971 ax-icn 7972 ax-addcl 7973 ax-addrcl 7974 ax-mulcl 7975 ax-mulrcl 7976 ax-addcom 7977 ax-mulcom 7978 ax-addass 7979 ax-mulass 7980 ax-distr 7981 ax-i2m1 7982 ax-0lt1 7983 ax-1rid 7984 ax-0id 7985 ax-rnegex 7986 ax-precex 7987 ax-cnre 7988 ax-pre-ltirr 7989 ax-pre-ltwlin 7990 ax-pre-lttrn 7991 ax-pre-apti 7992 ax-pre-ltadd 7993 ax-pre-mulgt0 7994 ax-pre-mulext 7995 ax-arch 7996 ax-caucvg 7997 ax-addf 7999 ax-mulf 8000

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-tp 3630 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-disj 4011 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-of 6135 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-tpos 6303 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-er 6592 df-ec 6594 df-qs 6598 df-map 6709 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7048 df-inf 7049 df-pnf 8061 df-mnf 8062 df-xr 8063 df-ltxr 8064 df-le 8065 df-sub 8197 df-neg 8198 df-reap 8599 df-ap 8606 df-div 8697 df-inn 8988 df-2 9046 df-3 9047 df-4 9048 df-5 9049 df-6 9050 df-7 9051 df-8 9052 df-9 9053 df-n0 9247 df-z 9324 df-dec 9455 df-uz 9599 df-q 9691 df-rp 9726 df-fz 10081 df-fzo 10215 df-fl 10345 df-mod 10400 df-seqfrec 10525 df-exp 10616 df-ihash 10853 df-cj 10992 df-re 10993 df-im 10994 df-rsqrt 11148 df-abs 11149 df-clim 11428 df-sumdc 11503 df-proddc 11700 df-dvds 11937 df-gcd 12086 df-prm 12252 df-phi 12355 df-pc 12430 df-struct 12656 df-ndx 12657 df-slot 12658 df-base 12660 df-sets 12661 df-iress 12662 df-plusg 12744 df-mulr 12745 df-starv 12746 df-sca 12747 df-vsca 12748 df-ip 12749 df-tset 12750 df-ple 12751 df-ds 12753 df-unif 12754 df-0g 12905 df-igsum 12906 df-topgen 12907 df-iimas 12921 df-qus 12922 df-mgm 12975 df-sgrp 13021 df-mnd 13034 df-mhm 13067 df-submnd 13068 df-grp 13111 df-minusg 13112 df-sbg 13113 df-mulg 13226 df-subg 13276 df-nsg 13277 df-eqg 13278 df-ghm 13347 df-cmn 13392 df-abl 13393 df-mgp 13453 df-rng 13465 df-ur 13492 df-srg 13496 df-ring 13530 df-cring 13531 df-oppr 13600 df-dvdsr 13621 df-unit 13622 df-invr 13653 df-dvr 13664 df-rhm 13684 df-nzr 13712 df-subrg 13751 df-domn 13791 df-idom 13792 df-lmod 13821 df-lssm 13885 df-lsp 13919 df-sra 13967 df-rgmod 13968 df-lidl 14001 df-rsp 14002 df-2idl 14032 df-bl 14078 df-mopn 14079 df-fg 14081 df-metu 14082 df-cnfld 14089 df-zring 14123 df-zrh 14146 df-zn 14148 df-lgs 15206

This theorem is referenced by: lgsquadlem3 15287

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