Theorem fznn0sub2 9798

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub2	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fznn0sub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 9700	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		elfzel2 9697	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
3		elfzelz 9699	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4		zre 8962	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		zre 8962	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		subge02 8159	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
7	4, 5, 6	syl2an 285	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 406	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
9	1, 8	mpbid 146	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) <_ N )
10		fznn0sub 9730	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
11		nn0uz 9262	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	10, 11	syl6eleq 2207	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfz5 9691	. . 3 |- ( ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
14	12, 2, 13	syl2anc 406	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
15	9, 14	mpbird 166	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   <_ cle 7725   - cmin 7856   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   ...cfz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684

This theorem is referenced by:  uzsubfz0  9799  bccmpl  10393  fisum0diag2  11108  mertenslemi1  11196