Theorem fznn0sub2 10084

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub2	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fznn0sub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 9983	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		elfzel2 9979	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
3		elfzelz 9981	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4		zre 9216	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		zre 9216	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		subge02 8397	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 409	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
9	1, 8	mpbid 146	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) <_ N )
10		fznn0sub 10013	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
11		nn0uz 9521	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	10, 11	eleqtrdi 2263	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfz5 9973	. . 3 |- ( ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
14	12, 2, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
15	9, 14	mpbird 166	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   <_ cle 7955   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  uzsubfz0  10085  bccmpl  10688  fisum0diag2  11410  mertenslemi1  11498