ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 Unicode version

Theorem fznn0sub2 9504
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 9410 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 elfzel2 9407 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 9409 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 zre 8724 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 zre 8724 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 subge02 7935 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
74, 5, 6syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
82, 3, 7syl2anc 403 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
91, 8mpbid 145 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  <_  N )
10 fznn0sub 9439 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
11 nn0uz 9022 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11syl6eleq 2180 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfz5 9401 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
1412, 2, 13syl2anc 403 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
159, 14mpbird 165 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329    <_ cle 7502    - cmin 7632   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  uzsubfz0  9505  bccmpl  10127  fisum0diag2  10804
  Copyright terms: Public domain W3C validator