Theorem fznn0sub2 10513

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub2	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fznn0sub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10410	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		elfzel2 10405	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
3		elfzelz 10407	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4		zre 9627	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		zre 9627	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		subge02 8796	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 415	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
9	1, 8	mpbid 147	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) <_ N )
10		fznn0sub 10441	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
11		nn0uz 9936	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	10, 11	eleqtrdi 2331	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfz5 10399	. . 3 |- ( ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
14	12, 2, 13	syl2anc 415	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
15	9, 14	mpbird 167	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  uzsubfz0  10514  bccmpl  11170  pfxlswccat  11463  fisum0diag2  12192  mertenslemi1  12280