Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1oleml Unicode version

Theorem seq3f1oleml 10384
 Description: Lemma for seq3f1o 10385. This is more or less the result, but stated in terms of and without . and may differ in terms of what happens to terms after . The terms after don't matter for the value at but we need some definition given the way our theorems concerning work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1
iseqf1o.2
iseqf1o.3
iseqf1o.4
iseqf1o.6
iseqf1o.7
iseqf1o.l
Assertion
Ref Expression
seq3f1oleml
Distinct variable groups:   , ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem seq3f1oleml
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . 3
2 iseqf1o.2 . . 3
3 iseqf1o.3 . . 3
4 iseqf1o.4 . . 3
5 iseqf1o.6 . . 3
6 iseqf1o.7 . . 3
7 iseqf1o.l . . 3
8 breq1 3968 . . . . 5
9 2fveq3 5470 . . . . 5
108, 9ifbieq1d 3527 . . . 4
1110cbvmptv 4060 . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11seq3f1olemp 10383 . 2
13 fveq2 5465 . . . . . 6
14 id 19 . . . . . 6
1513, 14eqeq12d 2172 . . . . 5
1615cbvralv 2680 . . . 4
17163anbi2i 1174 . . 3
18 simpr3 990 . . . 4
194adantr 274 . . . . 5
20 elfzuz 9906 . . . . . . . 8
2120adantl 275 . . . . . . 7
22 elfzle2 9912 . . . . . . . . . 10
2322adantl 275 . . . . . . . . 9
2423iftrued 3512 . . . . . . . 8
25 fveq2 5465 . . . . . . . . . . . 12
26 id 19 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26eqeq12d 2172 . . . . . . . . . . 11
28 simplr2 1025 . . . . . . . . . . 11
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11
3027, 28, 29rspcdva 2821 . . . . . . . . . 10
3130fveq2d 5469 . . . . . . . . 9
32 fveq2 5465 . . . . . . . . . . 11
3332eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10
346ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . 11
3534ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10
3633, 35, 21rspcdva 2821 . . . . . . . . 9
3731, 36eqeltrd 2234 . . . . . . . 8
3824, 37eqeltrd 2234 . . . . . . 7
39 breq1 3968 . . . . . . . . 9
40 2fveq3 5470 . . . . . . . . 9
4139, 40ifbieq1d 3527 . . . . . . . 8
42 eqid 2157 . . . . . . . 8
4341, 42fvmptg 5541 . . . . . . 7
4421, 38, 43syl2anc 409 . . . . . 6
4544, 24, 313eqtrd 2194 . . . . 5
46 simpr 109 . . . . . . 7
47 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
4847eleq1d 2226 . . . . . . . . 9
4934ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10
50 fveq2 5465 . . . . . . . . . . . 12
5150eleq1d 2226 . . . . . . . . . . 11
5251cbvralv 2680 . . . . . . . . . 10
5349, 52sylibr 133 . . . . . . . . 9
54 simpr1 988 . . . . . . . . . . . . 13
5554ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12
56 f1of 5411 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . 11
58 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
5946adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13
60 eluzelz 9431 . . . . . . . . . . . . . . 15
614, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14
6261ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . 13
63 elfz5 9902 . . . . . . . . . . . . 13
6459, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
6558, 64mpbird 166 . . . . . . . . . . 11
6657, 65ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10
67 elfzuz 9906 . . . . . . . . . 10
6866, 67syl 14 . . . . . . . . 9
6948, 53, 68rspcdva 2821 . . . . . . . 8
70 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
7170eleq1d 2226 . . . . . . . . 9
7234, 52sylibr 133 . . . . . . . . . 10
7372ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9
74 eluzel2 9427 . . . . . . . . . . . 12
754, 74syl 14 . . . . . . . . . . 11
7675ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10
77 uzid 9436 . . . . . . . . . 10
7876, 77syl 14 . . . . . . . . 9
7971, 73, 78rspcdva 2821 . . . . . . . 8
80 eluzelz 9431 . . . . . . . . . 10
8180adantl 275 . . . . . . . . 9
8261ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
83 zdcle 9223 . . . . . . . . 9 DECID
8481, 82, 83syl2anc 409 . . . . . . . 8 DECID
8569, 79, 84ifcldadc 3534 . . . . . . 7
8610, 42fvmptg 5541 . . . . . . 7
8746, 85, 86syl2anc 409 . . . . . 6
8887, 85eqeltrd 2234 . . . . 5
896adantlr 469 . . . . 5
901adantlr 469 . . . . 5
9119, 45, 88, 89, 90seq3fveq 10352 . . . 4
9218, 91eqtr3d 2192 . . 3
9317, 92sylan2br 286 . 2
9412, 93exlimddv 1878 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  cif 3505   class class class wbr 3965   cmpt 4025  wf 5163  wf1o 5166  cfv 5167  (class class class)co 5818   cle 7896  cz 9150  cuz 9422  cfz 9894   cseq 10326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-1o 6357  df-er 6473  df-en 6679  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327 This theorem is referenced by:  seq3f1o  10385
 Copyright terms: Public domain W3C validator