ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1oleml Unicode version

Theorem seq3f1oleml 9928
Description: Lemma for seq3f1o 9929. This is more or less the result, but stated in terms of  F and  G without  H.  L and  H may differ in terms of what happens to terms after  N. The terms after  N don't matter for the value at  N but we need some definition given the way our theorems concerning  seq work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1o.l  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1oleml  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y,
z    x, F, y, z   
x, G, y, z   
x, L, y, z   
x, M, y, z   
x, N, y, z   
x, S, y, z    ph, x, y, z

Proof of Theorem seq3f1oleml
Dummy variables  f  k  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqf1o.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
3 iseqf1o.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqf1o.6 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7 iseqf1o.l . . 3  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
8 breq1 3848 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  N  <->  x  <_  N ) )
9 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  ( f `  a ) )  =  ( G `  (
f `  x )
) )
108, 9ifbieq1d 3413 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) )  =  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
1110cbvmptv 3934 . . 3  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11seq3f1olemp 9927 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )
13 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  (
f `  b )  =  ( f `  x ) )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  b  =  x )
1513, 14eqeq12d 2102 . . . . 5  |-  ( b  =  x  ->  (
( f `  b
)  =  b  <->  ( f `  x )  =  x ) )
1615cbvralv 2590 . . . 4  |-  ( A. b  e.  ( M ... N ) ( f `
 b )  =  b  <->  A. x  e.  ( M ... N ) ( f `  x
)  =  x )
17163anbi2i 1135 . . 3  |-  ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  <->  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )
18 simpr3 951 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
194adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
20 elfzuz 9434 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2120adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
22 elfzle2 9440 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  <_  N )
2322adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  <_  N )
2423iftrued 3400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) )  =  ( G `
 ( f `  k ) ) )
25 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  k  ->  (
f `  b )  =  ( f `  k ) )
26 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  k  ->  b  =  k )
2725, 26eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  k  ->  (
( f `  b
)  =  b  <->  ( f `  k )  =  k ) )
28 simplr2 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  e.  ( M ... N ) )
3027, 28, 29rspcdva 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( f `  k
)  =  k )
3130fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  (
f `  k )
)  =  ( G `
 k ) )
32 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
3332eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  k )  e.  S
) )
346ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
3534ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( G `  x )  e.  S )
3633, 35, 21rspcdva 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  k
)  e.  S )
3731, 36eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  (
f `  k )
)  e.  S )
3824, 37eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )
39 breq1 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  (
a  <_  N  <->  k  <_  N ) )
40 2fveq3 5310 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  ( G `  ( f `  a ) )  =  ( G `  (
f `  k )
) )
4139, 40ifbieq1d 3413 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) )  =  if ( k  <_  N , 
( G `  (
f `  k )
) ,  ( G `
 M ) ) )
42 eqid 2088 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) )
4341, 42fvmptg 5380 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )  ->  ( ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) ) `
 k )  =  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) ) )
4421, 38, 43syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  k
)  =  if ( k  <_  N , 
( G `  (
f `  k )
) ,  ( G `
 M ) ) )
4544, 24, 313eqtrd 2124 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
46 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
47 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  x )  ->  ( G `  a )  =  ( G `  ( f `  x
) ) )
4847eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( f `  x )  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  ( f `  x
) )  e.  S
) )
4934ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  A. x  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( G `  x )  e.  S )
50 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  a )  =  ( G `  x ) )
5150eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
5251cbvralv 2590 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 a )  e.  S  <->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
5349, 52sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  A. a  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( G `  a )  e.  S )
54 simpr1 949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5554ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
56 f1of 5253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  f :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
58 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  x  <_  N )
5946adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
60 eluzelz 9026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
614, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6261ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
63 elfz5 9430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  <_  N ) )
6459, 62, 63syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( x  e.  ( M ... N )  <-> 
x  <_  N )
)
6558, 64mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
6657, 65ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( f `  x
)  e.  ( M ... N ) )
67 elfzuz 9434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ( M ... N )  ->  (
f `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6866, 67syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( f `  x
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6948, 53, 68rspcdva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( G `  (
f `  x )
)  e.  S )
70 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  M  ->  ( G `  a )  =  ( G `  M ) )
7170eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  M  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  M )  e.  S
) )
7234, 52sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
7372ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
74 eluzel2 9022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
754, 74syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7675ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
77 uzid 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7876, 77syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7971, 73, 78rspcdva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  ( G `  M )  e.  S
)
80 eluzelz 9026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
8180adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  x  e.  ZZ )
8261ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  ZZ )
83 zdcle 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  N )
8481, 82, 83syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  x  <_  N )
8569, 79, 84ifcldadc 3420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )
8610, 42fvmptg 5380 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
8746, 85, 86syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
8887, 85eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  e.  S )
896adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
901adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
9119, 45, 88, 89, 90seq3fveq 9891 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
9218, 91eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
9317, 92sylan2br 282 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
9412, 93exlimddv 1826 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    <_ cle 7521   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422    seqcseq 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850
This theorem is referenced by:  seq3f1o  9929
  Copyright terms: Public domain W3C validator