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Theorem seq3f1oleml 10216
Description: Lemma for seq3f1o 10217. This is more or less the result, but stated in terms of  F and  G without  H.  L and  H may differ in terms of what happens to terms after  N. The terms after  N don't matter for the value at  N but we need some definition given the way our theorems concerning  seq work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1o.l  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1oleml  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y,
z    x, F, y, z   
x, G, y, z   
x, L, y, z   
x, M, y, z   
x, N, y, z   
x, S, y, z    ph, x, y, z

Proof of Theorem seq3f1oleml
Dummy variables  f  k  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqf1o.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
3 iseqf1o.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqf1o.6 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7 iseqf1o.l . . 3  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
8 breq1 3900 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  N  <->  x  <_  N ) )
9 2fveq3 5392 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  ( f `  a ) )  =  ( G `  (
f `  x )
) )
108, 9ifbieq1d 3462 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) )  =  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
1110cbvmptv 3992 . . 3  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11seq3f1olemp 10215 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )
13 fveq2 5387 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  (
f `  b )  =  ( f `  x ) )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  b  =  x )
1513, 14eqeq12d 2130 . . . . 5  |-  ( b  =  x  ->  (
( f `  b
)  =  b  <->  ( f `  x )  =  x ) )
1615cbvralv 2629 . . . 4  |-  ( A. b  e.  ( M ... N ) ( f `
 b )  =  b  <->  A. x  e.  ( M ... N ) ( f `  x
)  =  x )
17163anbi2i 1156 . . 3  |-  ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  <->  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )
18 simpr3 972 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
194adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
20 elfzuz 9742 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2120adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
22 elfzle2 9748 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  <_  N )
2322adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  <_  N )
2423iftrued 3449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) )  =  ( G `
 ( f `  k ) ) )
25 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  k  ->  (
f `  b )  =  ( f `  k ) )
26 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  k  ->  b  =  k )
2725, 26eqeq12d 2130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  k  ->  (
( f `  b
)  =  b  <->  ( f `  k )  =  k ) )
28 simplr2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  e.  ( M ... N ) )
3027, 28, 29rspcdva 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( f `  k
)  =  k )
3130fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  (
f `  k )
)  =  ( G `
 k ) )
32 fveq2 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
3332eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  k )  e.  S
) )
346ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
3534ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( G `  x )  e.  S )
3633, 35, 21rspcdva 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  k
)  e.  S )
3731, 36eqeltrd 2192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  (
f `  k )
)  e.  S )
3824, 37eqeltrd 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )
39 breq1 3900 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  (
a  <_  N  <->  k  <_  N ) )
40 2fveq3 5392 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  ( G `  ( f `  a ) )  =  ( G `  (
f `  k )
) )
4139, 40ifbieq1d 3462 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) )  =  if ( k  <_  N , 
( G `  (
f `  k )
) ,  ( G `
 M ) ) )
42 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) )
4341, 42fvmptg 5463 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )  ->  ( ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) ) `
 k )  =  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( f `  k
) ) ,  ( G `  M ) ) )
4421, 38, 43syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  k
)  =  if ( k  <_  N , 
( G `  (
f `  k )
) ,  ( G `
 M ) ) )
4544, 24, 313eqtrd 2152 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
46 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
47 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  x )  ->  ( G `  a )  =  ( G `  ( f `  x
) ) )
4847eleq1d 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( f `  x )  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  ( f `  x
) )  e.  S
) )
4934ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  A. x  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( G `  x )  e.  S )
50 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  a )  =  ( G `  x ) )
5150eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
5251cbvralv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 a )  e.  S  <->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
5349, 52sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  A. a  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( G `  a )  e.  S )
54 simpr1 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5554ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
56 f1of 5333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  f :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
58 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  x  <_  N )
5946adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
60 eluzelz 9284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
614, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6261ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
63 elfz5 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  <_  N ) )
6459, 62, 63syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( x  e.  ( M ... N )  <-> 
x  <_  N )
)
6558, 64mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
6657, 65ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( f `  x
)  e.  ( M ... N ) )
67 elfzuz 9742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ( M ... N )  ->  (
f `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6866, 67syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( f `  x
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6948, 53, 68rspcdva 2766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  x  <_  N )  -> 
( G `  (
f `  x )
)  e.  S )
70 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  M  ->  ( G `  a )  =  ( G `  M ) )
7170eleq1d 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  M  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  M )  e.  S
) )
7234, 52sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
7372ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
74 eluzel2 9280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
754, 74syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7675ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
77 uzid 9289 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7876, 77syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7971, 73, 78rspcdva 2766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  -.  x  <_  N )  ->  ( G `  M )  e.  S
)
80 eluzelz 9284 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
8180adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  x  e.  ZZ )
8261ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  ZZ )
83 zdcle 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  N )
8481, 82, 83syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  x  <_  N )
8569, 79, 84ifcldadc 3469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )
8610, 42fvmptg 5463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
8746, 85, 86syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
8887, 85eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  e.  S )
896adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
901adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. b  e.  ( M ... N ) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M (  .+  , 
( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
9119, 45, 88, 89, 90seq3fveq 10184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( f `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
9218, 91eqtr3d 2150 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. b  e.  ( M ... N
) ( f `  b )  =  b  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
9317, 92sylan2br 284 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  (
f `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
9412, 93exlimddv 1852 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   ifcif 3442   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730    seqcseq 10158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159
This theorem is referenced by:  seq3f1o  10217
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