Theorem seq3f1oleml 10953

Description: Lemma for seq3f1o 10954. This is more or less the result, but stated in terms of F and G without H. L and H may differ in terms of what happens to terms after N. The terms after N don't matter for the value at N but we need some definition given the way our theorems concerning seq work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1oleml	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, z   x, F, y, z   x, G, y, z   x, L, y, z   x, M, y, z   x, N, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem seq3f1oleml

Dummy variables f k a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
3		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
4		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		iseqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6		iseqf1o.7	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
7		iseqf1o.l	. . 3 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
8		breq1 4133	. . . . 5 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
9		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( a = x -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
10	8, 9	ifbieq1d 3663	. . . 4 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
11	10	cbvmptv 4227	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	seq3f1olemp 10952	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
13		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( b = x -> ( f ` b ) = ( f ` x ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( b = x -> b = x )
15	13, 14	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( b = x -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` x ) = x ) )
16	15	cbvralv 2786	. . . 4 |- ( A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x )
17	16	3anbi2i 1222	. . 3 |- ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
18		simpr3 1036	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
19	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
20		elfzuz 10424	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22		elfzle2 10432	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
24	23	iftrued 3647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
25		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> ( f ` b ) = ( f ` k ) )
26		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> b = k )
27	25, 26	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = k -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` k ) = k ) )
28		simplr2 1071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
30	27, 28, 29	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( f ` k ) = k )
31	30	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) = ( G ` k ) )
32		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
33	32	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` k ) e. S ) )
34	6	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
35	34	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
36	33, 35, 21	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
37	31, 36	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) e. S )
38	24, 37	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
39		breq1 4133	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
40		2fveq3 5700	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
41	39, 40	ifbieq1d 3663	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
42		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
43	41, 42	fvmptg 5781	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
44	21, 38, 43	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
45	44, 24, 31	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
46		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
47		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( f ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
48	47	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( f ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( f ` x ) ) e. S ) )
49	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
50		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( G ` a ) = ( G ` x ) )
51	50	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
52	51	cbvralv 2786	. . . . . . . . . 10 |- ( A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S <-> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
53	49, 52	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
54		simpr1 1034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
55	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
56		f1of 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
59	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
60		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
61	4, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
62	61	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
63		elfz5 10420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
65	58, 64	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
66	57, 65	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( M ... N ) )
67		elfzuz 10424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. ( M ... N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
69	48, 53, 68	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( f ` x ) ) e. S )
70		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
71	70	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
72	34, 52	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
73	72	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
74		eluzel2 9926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
75	4, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
76	75	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
77		uzid 9936	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
79	71, 73, 78	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
80		eluzelz 9931	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
82	61	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
83		zdcle 9721	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
84	81, 82, 83	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
85	69, 79, 84	ifcldadc 3670	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
86	10, 42	fvmptg 5781	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
87	46, 85, 86	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
88	87, 85	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
89	6	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
90	1	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91	19, 45, 88, 89, 90	seq3fveq 10916	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
92	18, 91	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
93	17, 92	sylan2br 288	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
94	12, 93	exlimddv 1954	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  seq3f1o  10954