Theorem seq3f1oleml 10698

Description: Lemma for seq3f1o 10699. This is more or less the result, but stated in terms of F and G without H. L and H may differ in terms of what happens to terms after N. The terms after N don't matter for the value at N but we need some definition given the way our theorems concerning seq work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1oleml	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, z   x, F, y, z   x, G, y, z   x, L, y, z   x, M, y, z   x, N, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem seq3f1oleml

Dummy variables f k a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
3		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
4		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		iseqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6		iseqf1o.7	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
7		iseqf1o.l	. . 3 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
8		breq1 4062	. . . . 5 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
9		2fveq3 5604	. . . . 5 |- ( a = x -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
10	8, 9	ifbieq1d 3602	. . . 4 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
11	10	cbvmptv 4156	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	seq3f1olemp 10697	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
13		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( b = x -> ( f ` b ) = ( f ` x ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( b = x -> b = x )
15	13, 14	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( b = x -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` x ) = x ) )
16	15	cbvralv 2742	. . . 4 |- ( A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x )
17	16	3anbi2i 1194	. . 3 |- ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
18		simpr3 1008	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
19	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
20		elfzuz 10178	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22		elfzle2 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
24	23	iftrued 3586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
25		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> ( f ` b ) = ( f ` k ) )
26		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> b = k )
27	25, 26	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = k -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` k ) = k ) )
28		simplr2 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
30	27, 28, 29	rspcdva 2889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( f ` k ) = k )
31	30	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) = ( G ` k ) )
32		fveq2 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
33	32	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` k ) e. S ) )
34	6	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
36	33, 35, 21	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
37	31, 36	eqeltrd 2284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) e. S )
38	24, 37	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
39		breq1 4062	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
40		2fveq3 5604	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
41	39, 40	ifbieq1d 3602	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
42		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
43	41, 42	fvmptg 5678	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
44	21, 38, 43	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
45	44, 24, 31	3eqtrd 2244	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
46		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
47		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( f ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
48	47	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( f ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( f ` x ) ) e. S ) )
49	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
50		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( G ` a ) = ( G ` x ) )
51	50	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
52	51	cbvralv 2742	. . . . . . . . . 10 |- ( A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S <-> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
53	49, 52	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
54		simpr1 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
56		f1of 5544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
59	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
60		eluzelz 9692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
61	4, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
62	61	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
63		elfz5 10174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
65	58, 64	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
66	57, 65	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( M ... N ) )
67		elfzuz 10178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. ( M ... N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
69	48, 53, 68	rspcdva 2889	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( f ` x ) ) e. S )
70		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
71	70	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
72	34, 52	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
73	72	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
74		eluzel2 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
75	4, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
76	75	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
77		uzid 9697	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
79	71, 73, 78	rspcdva 2889	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
80		eluzelz 9692	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
82	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
83		zdcle 9484	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
85	69, 79, 84	ifcldadc 3609	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
86	10, 42	fvmptg 5678	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
87	46, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
88	87, 85	eqeltrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
89	6	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
90	1	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91	19, 45, 88, 89, 90	seq3fveq 10661	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
92	18, 91	eqtr3d 2242	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
93	17, 92	sylan2br 288	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
94	12, 93	exlimddv 1923	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   ifcif 3579   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -->wf 5286   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   <_ cle 8143   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  seq3f1o  10699