Theorem seq3f1oleml 10502

Description: Lemma for seq3f1o 10503. This is more or less the result, but stated in terms of F and G without H. L and H may differ in terms of what happens to terms after N. The terms after N don't matter for the value at N but we need some definition given the way our theorems concerning seq work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1oleml	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, z   x, F, y, z   x, G, y, z   x, L, y, z   x, M, y, z   x, N, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem seq3f1oleml

Dummy variables f k a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
3		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
4		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		iseqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6		iseqf1o.7	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
7		iseqf1o.l	. . 3 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
8		breq1 4006	. . . . 5 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
9		2fveq3 5520	. . . . 5 |- ( a = x -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
10	8, 9	ifbieq1d 3556	. . . 4 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
11	10	cbvmptv 4099	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	seq3f1olemp 10501	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
13		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( b = x -> ( f ` b ) = ( f ` x ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( b = x -> b = x )
15	13, 14	eqeq12d 2192	. . . . 5 |- ( b = x -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` x ) = x ) )
16	15	cbvralv 2703	. . . 4 |- ( A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x )
17	16	3anbi2i 1191	. . 3 |- ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
18		simpr3 1005	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
19	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
20		elfzuz 10020	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22		elfzle2 10027	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
24	23	iftrued 3541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
25		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> ( f ` b ) = ( f ` k ) )
26		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> b = k )
27	25, 26	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = k -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` k ) = k ) )
28		simplr2 1040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
30	27, 28, 29	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( f ` k ) = k )
31	30	fveq2d 5519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) = ( G ` k ) )
32		fveq2 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
33	32	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` k ) e. S ) )
34	6	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
36	33, 35, 21	rspcdva 2846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
37	31, 36	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) e. S )
38	24, 37	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
39		breq1 4006	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
40		2fveq3 5520	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
41	39, 40	ifbieq1d 3556	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
42		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
43	41, 42	fvmptg 5592	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
44	21, 38, 43	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
45	44, 24, 31	3eqtrd 2214	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
46		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
47		fveq2 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( f ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
48	47	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( f ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( f ` x ) ) e. S ) )
49	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
50		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( G ` a ) = ( G ` x ) )
51	50	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
52	51	cbvralv 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S <-> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
53	49, 52	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
54		simpr1 1003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
56		f1of 5461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
59	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
60		eluzelz 9536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
61	4, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
62	61	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
63		elfz5 10016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
65	58, 64	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
66	57, 65	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( M ... N ) )
67		elfzuz 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. ( M ... N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
69	48, 53, 68	rspcdva 2846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( f ` x ) ) e. S )
70		fveq2 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
71	70	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
72	34, 52	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
73	72	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
74		eluzel2 9532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
75	4, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
76	75	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
77		uzid 9541	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
79	71, 73, 78	rspcdva 2846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
80		eluzelz 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
82	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
83		zdcle 9328	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
85	69, 79, 84	ifcldadc 3563	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
86	10, 42	fvmptg 5592	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
87	46, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
88	87, 85	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
89	6	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
90	1	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91	19, 45, 88, 89, 90	seq3fveq 10470	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
92	18, 91	eqtr3d 2212	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
93	17, 92	sylan2br 288	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
94	12, 93	exlimddv 1898	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ifcif 3534   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   -->wf 5212   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   <_ cle 7992   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007   seqcseq 10444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445

This theorem is referenced by:  seq3f1o  10503