Theorem seq3f1oleml 10459

Description: Lemma for seq3f1o 10460. This is more or less the result, but stated in terms of F and G without H. L and H may differ in terms of what happens to terms after N. The terms after N don't matter for the value at N but we need some definition given the way our theorems concerning seq work. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1oleml	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, z   x, F, y, z   x, G, y, z   x, L, y, z   x, M, y, z   x, N, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem seq3f1oleml

Dummy variables f k a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
3		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
4		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		iseqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6		iseqf1o.7	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
7		iseqf1o.l	. . 3 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
8		breq1 3992	. . . . 5 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
9		2fveq3 5501	. . . . 5 |- ( a = x -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
10	8, 9	ifbieq1d 3548	. . . 4 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
11	10	cbvmptv 4085	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	seq3f1olemp 10458	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
13		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( b = x -> ( f ` b ) = ( f ` x ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( b = x -> b = x )
15	13, 14	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( b = x -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` x ) = x ) )
16	15	cbvralv 2696	. . . 4 |- ( A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x )
17	16	3anbi2i 1186	. . 3 |- ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
18		simpr3 1000	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
19	4	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
20		elfzuz 9977	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21	20	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22		elfzle2 9984	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
23	22	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
24	23	iftrued 3533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
25		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> ( f ` b ) = ( f ` k ) )
26		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = k -> b = k )
27	25, 26	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = k -> ( ( f ` b ) = b <-> ( f ` k ) = k ) )
28		simplr2 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b )
29		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
30	27, 28, 29	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( f ` k ) = k )
31	30	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) = ( G ` k ) )
32		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
33	32	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` k ) e. S ) )
34	6	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
35	34	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
36	33, 35, 21	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
37	31, 36	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( f ` k ) ) e. S )
38	24, 37	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
39		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
40		2fveq3 5501	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( G ` ( f ` a ) ) = ( G ` ( f ` k ) ) )
41	39, 40	ifbieq1d 3548	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
42		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
43	41, 42	fvmptg 5572	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
44	21, 38, 43	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( f ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
45	44, 24, 31	3eqtrd 2207	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
46		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
47		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( f ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( f ` x ) ) )
48	47	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( f ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( f ` x ) ) e. S ) )
49	34	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
50		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( G ` a ) = ( G ` x ) )
51	50	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
52	51	cbvralv 2696	. . . . . . . . . 10 |- ( A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S <-> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
53	49, 52	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
54		simpr1 998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
55	54	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
56		f1of 5442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> f : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
58		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
59	46	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
60		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
61	4, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
62	61	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
63		elfz5 9973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
65	58, 64	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
66	57, 65	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( M ... N ) )
67		elfzuz 9977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. ( M ... N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( f ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
69	48, 53, 68	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( f ` x ) ) e. S )
70		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
71	70	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
72	34, 52	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
73	72	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
74		eluzel2 9492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
75	4, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
76	75	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
77		uzid 9501	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
79	71, 73, 78	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
80		eluzelz 9496	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
81	80	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
82	61	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
83		zdcle 9288	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
84	81, 82, 83	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
85	69, 79, 84	ifcldadc 3555	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
86	10, 42	fvmptg 5572	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
87	46, 85, 86	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
88	87, 85	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
89	6	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
90	1	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91	19, 45, 88, 89, 90	seq3fveq 10427	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
92	18, 91	eqtr3d 2205	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. b e. ( M ... N ) ( f ` b ) = b /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
93	17, 92	sylan2br 286	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( f ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
94	12, 93	exlimddv 1891	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , L ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  seq3f1o  10460