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Theorem elfz1b 9882
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 9809 . 2  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
2 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
3 0red 7779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
4 1red 7793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
5 zre 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53jca 1161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 0lt1 7901 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
0  <  1 )
10 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
1  <_  N )
11 ltletr 7865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
1211imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  1  <_  N ) )  ->  0  <  N )
137, 9, 10, 12syl12anc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
0  <  N )
14 elnnz 9076 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
152, 13, 14sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  NN )
1615ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <_  N  ->  N  e.  NN ) )
17163ad2ant3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  <_  N  ->  N  e.  NN ) )
1817com12 30 . . . . . 6  |-  ( 1  <_  N  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN ) )
1918adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN ) )
2019impcom 124 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  N  e.  NN )
21 zre 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
22 zre 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2321, 5, 223anim123i 1166 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
24233com23 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
25 letr 7859 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  1  <_  M
) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  1  <_  M
) )
27 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
28 0red 7779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
0  e.  RR )
29 1red 7793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
1  e.  RR )
3022adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  RR )
318a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
0  <  1 )
32 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
1  <_  M )
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 8197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
0  <  M )
34 elnnz 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
3527, 33, 34sylanbrc 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  NN )
3635ex 114 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
1  <_  M  ->  M  e.  NN ) )
37363ad2ant2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  <_  M  ->  M  e.  NN ) )
3826, 37syld 45 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  M  e.  NN ) )
3938imp 123 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  M  e.  NN )
40 simprr 521 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  N  <_  M )
4120, 39, 403jca 1161 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )
42 1zzd 9093 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  1  e.  ZZ )
43 nnz 9085 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
44433ad2ant2 1003 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
45 nnz 9085 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
46453ad2ant1 1002 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  N  e.  ZZ )
4742, 44, 463jca 1161 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
48 nnge1 8755 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
49483ad2ant1 1002 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  1  <_  N )
50 simp3 983 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  N  <_  M )
5147, 49, 50jca32 308 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
5241, 51impbii 125 . 2  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )
531, 52bitri 183 1  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    < clt 7812    <_ cle 7813   NNcn 8732   ZZcz 9066   ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-z 9067  df-fz 9803
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9989  cvgcmp2nlemabs  13288
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