Theorem elfz1b 10025

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	|- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9951	. 2 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
2		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. ZZ )
3		0red 7900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 0 e. RR )
4		1red 7914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
5		zre 9195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6	3, 4, 5	3jca 1167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
8		0lt1 8025	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < 1 )
10		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 1 <_ N )
11		ltletr 7988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
12	11	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) ) -> 0 < N )
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < N )
14		elnnz 9201	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
15	2, 13, 14	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
16	15	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
17	16	3ad2ant3 1010	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
18	17	com12 30	. . . . . 6 |- ( 1 <_ N -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
20	19	impcom 124	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21		zre 9195	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. RR )
22		zre 9195	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
23	21, 5, 22	3anim123i 1174	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
24	23	3com23 1199	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
25		letr 7981	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
27		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. ZZ )
28		0red 7900	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 e. RR )
29		1red 7914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 e. RR )
30	22	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. RR )
31	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < 1 )
32		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 <_ M )
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 8321	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < M )
34		elnnz 9201	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
35	27, 33, 34	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. NN )
36	35	ex 114	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
37	36	3ad2ant2 1009	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
38	26, 37	syld 45	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> M e. NN ) )
39	38	imp 123	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. NN )
40		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N <_ M )
41	20, 39, 40	3jca 1167	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
42		1zzd 9218	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 e. ZZ )
43		nnz 9210	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
44	43	3ad2ant2 1009	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
45		nnz 9210	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
46	45	3ad2ant1 1008	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ZZ )
47	42, 44, 46	3jca 1167	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
48		nnge1 8880	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
49	48	3ad2ant1 1008	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 <_ N )
50		simp3 989	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N <_ M )
51	47, 49, 50	jca32 308	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
52	41, 51	impbii 125	. 2 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
53	1, 52	bitri 183	1 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-z 9192  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  10135  eulerthlema  12162  cvgcmp2nlemabs  13911