ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1b Unicode version
Theorem elfz1b 10446
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 10368 . 2 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
2 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. ZZ )
3 0red 8291 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 0 e. RR )
4 1red 8305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
5 zre 9598 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
63, 4, 53jca 1204 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
76adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
8 0lt1 8416 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < 1 )
10 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 1 <_ N )
11 ltletr 8379 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
1211imp 124 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) ) -> 0 < N )
137, 9, 10, 12syl12anc 1272 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < N )
14 elnnz 9604 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
152, 13, 14sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
1615ex 115 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
17163ad2ant3 1047 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
1817com12 30 . . . . . 6 |- ( 1 <_ N -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
1918adantr 276 . . . . 5 |- ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
2019impcom 125 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21 zre 9598 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. RR )
22 zre 9598 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2321, 5, 223anim123i 1211 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
24233com23 1236 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
25 letr 8372 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
27 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. ZZ )
28 0red 8291 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 e. RR )
29 1red 8305 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 e. RR )
3022adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. RR )
318a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < 1 )
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 <_ M )
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 8714 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < M )
34 elnnz 9604 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
3527, 33, 34sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. NN )
3635ex 115 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
37363ad2ant2 1046 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
3826, 37syld 45 . . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> M e. NN ) )
3938imp 124 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. NN )
40 simprr 533 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N <_ M )
4120, 39, 403jca 1204 . . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
42 1zzd 9621 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 e. ZZ )
43 nnz 9613 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
44433ad2ant2 1046 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
45 nnz 9613 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
46453ad2ant1 1045 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ZZ )
4742, 44, 463jca 1204 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
48 nnge1 9277 . . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
49483ad2ant1 1045 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 <_ N )
50 simp3 1026 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N <_ M )
5147, 49, 50jca32 310 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
5241, 51impbii 126 . 2 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
531, 52bitri 184 1 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   ZZcz 9594   ...cfz 10361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-z 9595  df-fz 10362
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  10567  eulerthlema  12952  gausslemma2dlem1a  16057  gausslemma2dlem2  16061  gausslemma2dlem4  16063  cvgcmp2nlemabs  16942
  Copyright terms: Public domain W3C validator