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Theorem elfz1b 10315
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 10240 . 2 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
2 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. ZZ )
3 0red 8170 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 0 e. RR )
4 1red 8184 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
5 zre 9473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
63, 4, 53jca 1201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
76adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
8 0lt1 8296 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < 1 )
10 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 1 <_ N )
11 ltletr 8259 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
1211imp 124 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) ) -> 0 < N )
137, 9, 10, 12syl12anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < N )
14 elnnz 9479 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
152, 13, 14sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
1615ex 115 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
17163ad2ant3 1044 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
1817com12 30 . . . . . 6 |- ( 1 <_ N -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
1918adantr 276 . . . . 5 |- ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
2019impcom 125 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21 zre 9473 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. RR )
22 zre 9473 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2321, 5, 223anim123i 1208 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
24233com23 1233 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
25 letr 8252 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
27 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. ZZ )
28 0red 8170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 e. RR )
29 1red 8184 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 e. RR )
3022adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. RR )
318a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < 1 )
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 <_ M )
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 8593 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < M )
34 elnnz 9479 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
3527, 33, 34sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. NN )
3635ex 115 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
37363ad2ant2 1043 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
3826, 37syld 45 . . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> M e. NN ) )
3938imp 124 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. NN )
40 simprr 531 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N <_ M )
4120, 39, 403jca 1201 . . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
42 1zzd 9496 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 e. ZZ )
43 nnz 9488 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
44433ad2ant2 1043 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
45 nnz 9488 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
46453ad2ant1 1042 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ZZ )
4742, 44, 463jca 1201 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
48 nnge1 9156 . . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
49483ad2ant1 1042 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 <_ N )
50 simp3 1023 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N <_ M )
5147, 49, 50jca32 310 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
5241, 51impbii 126 . 2 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
531, 52bitri 184 1 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   < clt 8204   <_ cle 8205   NNcn 9133   ZZcz 9469   ...cfz 10233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470  df-fz 10234
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  10435  eulerthlema  12792  gausslemma2dlem1a  15777  gausslemma2dlem2  15781  gausslemma2dlem4  15783  cvgcmp2nlemabs  16572
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