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Theorem elfz1b 9653
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 9580 . 2  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
2 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
3 0red 7586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
4 1red 7600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
5 zre 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53jca 1126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 0lt1 7707 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
0  <  1 )
10 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
1  <_  N )
11 ltletr 7671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
1211imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  1  <_  N ) )  ->  0  <  N )
137, 9, 10, 12syl12anc 1179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
0  <  N )
14 elnnz 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
152, 13, 14sylanbrc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  NN )
1615ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <_  N  ->  N  e.  NN ) )
17163ad2ant3 969 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  <_  N  ->  N  e.  NN ) )
1817com12 30 . . . . . 6  |-  ( 1  <_  N  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN ) )
1918adantr 271 . . . . 5  |-  ( ( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN ) )
2019impcom 124 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  N  e.  NN )
21 zre 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
22 zre 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2321, 5, 223anim123i 1131 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
24233com23 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
25 letr 7665 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  1  <_  M
) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  1  <_  M
) )
27 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
28 0red 7586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
0  e.  RR )
29 1red 7600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
1  e.  RR )
3022adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  RR )
318a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
0  <  1 )
32 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
1  <_  M )
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 7998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  -> 
0  <  M )
34 elnnz 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
3527, 33, 34sylanbrc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  NN )
3635ex 114 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
1  <_  M  ->  M  e.  NN ) )
37363ad2ant2 968 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  <_  M  ->  M  e.  NN ) )
3826, 37syld 45 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 1  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  M  e.  NN ) )
3938imp 123 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  M  e.  NN )
40 simprr 500 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  N  <_  M )
4120, 39, 403jca 1126 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )
42 1zzd 8875 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  1  e.  ZZ )
43 nnz 8867 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
44433ad2ant2 968 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
45 nnz 8867 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
46453ad2ant1 967 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  N  e.  ZZ )
4742, 44, 463jca 1126 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
48 nnge1 8543 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
49483ad2ant1 967 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  1  <_  N )
50 simp3 948 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  N  <_  M )
5147, 49, 50jca32 304 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
5241, 51impbii 125 . 2  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  N  /\  N  <_  M ) )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )
531, 52bitri 183 1  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <_  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448    < clt 7619    <_ cle 7620   NNcn 8520   ZZcz 8848   ...cfz 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-fz 9574
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