Theorem zmodfz 10363

Description: An integer mod B lies in the first B nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
zmodfz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) )

Proof of Theorem zmodfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10361	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9390	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ZZ )
3	1	nn0ge0d 9249	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
4		zq 9643	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. QQ )
6		nnq 9650	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. QQ )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. QQ )
8		nngt0 8961	. . . 4 |- ( B e. NN -> 0 < B )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
10		modqlt 10350	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) < B )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1248	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) < B )
12		0z 9281	. . 3 |- 0 e. ZZ
13		nnz 9289	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
14	13	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
15		elfzm11 10108	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < B ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < B ) ) )
17	2, 3, 11, 16	mpbir3and 1181	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2159   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890   0cc0 7828   1c1 7829   < clt 8009   <_ cle 8010   - cmin 8145   NNcn 8936   ZZcz 9270   QQcq 9636   ...cfz 10025   mod cmo 10339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fl 10287  df-mod 10340

This theorem is referenced by:  zmodfzo  10364  mod2eq1n2dvds  11901  bezoutlemmain  12016  prmdiv  12252  lgsdir2lem3  14814  lgseisenlem1  14833