Theorem zmodfz 10563

Description: An integer mod B lies in the first B nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
zmodfz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) )

Proof of Theorem zmodfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10561	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9563	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ZZ )
3	1	nn0ge0d 9421	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
4		zq 9817	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. QQ )
6		nnq 9824	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. QQ )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. QQ )
8		nngt0 9131	. . . 4 |- ( B e. NN -> 0 < B )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
10		modqlt 10550	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) < B )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) < B )
12		0z 9453	. . 3 |- 0 e. ZZ
13		nnz 9461	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
14	13	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
15		elfzm11 10283	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < B ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < B ) ) )
17	2, 3, 11, 16	mpbir3and 1204	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ( 0 ... ( B - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   NNcn 9106   ZZcz 9442   QQcq 9810   ...cfz 10200   mod cmo 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fl 10485  df-mod 10540

This theorem is referenced by:  zmodfzo  10564  mod2eq1n2dvds  12385  bezoutlemmain  12514  prmdiv  12752  4sqlem11  12919  lgsdir2lem3  15703  lgseisenlem1  15743