ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zmodfz Unicode version

Theorem zmodfz 10363
Description: An integer mod  B lies in the first  B nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
zmodfz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem zmodfz
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10361 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  NN0 )
21nn0zd 9390 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  ZZ )
31nn0ge0d 9249 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  mod  B ) )
4 zq 9643 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
54adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
6 nnq 9650 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  QQ )
76adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  QQ )
8 nngt0 8961 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
98adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
10 modqlt 10350 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  < 
B )
115, 7, 9, 10syl3anc 1248 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  <  B )
12 0z 9281 . . 3  |-  0  e.  ZZ
13 nnz 9289 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
1413adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
15 elfzm11 10108 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  mod  B )  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) )  <->  ( ( A  mod  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A  mod  B
)  /\  ( A  mod  B )  <  B
) ) )
1612, 14, 15sylancr 414 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  B )  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) )  <->  ( ( A  mod  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A  mod  B
)  /\  ( A  mod  B )  <  B
) ) )
172, 3, 11, 16mpbir3and 1181 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979    e. wcel 2159   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890   0cc0 7828   1c1 7829    < clt 8009    <_ cle 8010    - cmin 8145   NNcn 8936   ZZcz 9270   QQcq 9636   ...cfz 10025    mod cmo 10339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fl 10287  df-mod 10340
This theorem is referenced by:  zmodfzo  10364  mod2eq1n2dvds  11901  bezoutlemmain  12016  prmdiv  12252  lgsdir2lem3  14814  lgseisenlem1  14833
  Copyright terms: Public domain W3C validator