ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzm11 GIF version

Theorem elfzm11 10064
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elfzm11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))

Proof of Theorem elfzm11
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9267 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 elfz1 9987 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
31, 2sylan2 286 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
4 zltlem1 9286 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
54anbi2d 464 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
65expcom 116 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))))
76pm5.32d 450 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))))
8 3anass 982 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
9 3anass 982 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
107, 8, 93bitr4g 223 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
1110adantl 277 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
123, 11bitr4d 191 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  1c1 7790   < clt 7969  cle 7970  cmin 8105  cz 9229  ...cfz 9982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-fz 9983
This theorem is referenced by:  uzsplit  10065  uznfz  10076  zmodfz  10319  zmodid2  10325  seq3coll  10793
  Copyright terms: Public domain W3C validator