Theorem elfzuz3 10442

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10439	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  elfzel2  10443  elfzle2  10449  peano2fzr  10458  fzsplit2  10472  fzsplit  10473  fzsplit3  10475  fznn0sub  10480  fzopth  10484  fzss1  10486  fzss2  10487  fzp1elp1  10499  fzosplit  10603  fzoend  10657  fzofzp1b  10663  seq3fveq2  10933  seqfveq2g  10935  monoord  10943  seqsplitg  10947  iseqf1olemnab  10959  seq3f1olemqsum  10971  seqf1oglem2  10978  seq3id2  10984  seq3z  10986  seqhomog  10988  bcval5  11223  seq3coll  11316  swrdval2  11445  pfxres  11475  pfxf  11476  fisum0diag2  12239  pcbc  13159  ballotfilemsima  13317  ballotfilemfrc  13328  ballotfilemfrceq  13330  ppiqsval2  16241  dvdsppwf1o  16283  bposlem6  16316  wlkres  16825