Theorem fisum0diag2 11590

Description: Two ways to express "the sum of A ( j , k ) over the triangular region 0 <_ j, 0 <_ k, j + k <_ N". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag2.1	|- ( x = k -> B = A )
fsum0diag2.2	|- ( x = ( k - j ) -> B = C )
fsum0diag2.3	|- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
fisum0diag2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fisum0diag2	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Distinct variable groups:   j, k, x, N   ph, j, k   B, k   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( j, k)   B( x, j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisum0diag2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fznn0sub2 10194	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
2	1	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
3		fsum0diag2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
4	3	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> A e. CC ) )
5	4	ralrimiv 2566	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
6		fsum0diag2.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = A )
7	6	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> A e. CC ) )
8	7	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC <-> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
9	5, 8	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
10	9	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
11		nfcsb1v 3113	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B
12	11	nfel1 2347	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC
13		csbeq1a 3089	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
14	13	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2858	. . . . . 6 |- ( ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
16	2, 10, 15	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC )
17		fisum0diag2.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	16, 17	fisum0diag 11584	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
19		0zd 9329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
20	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		elfzelz 10091	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
23	20, 22	zsubcld 9444	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - j ) e. ZZ )
24		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
25	24	nfel1 2347	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ k / x ]_ B e. CC
26		csbeq1a 3089	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
27	26	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
28	25, 27	rspc 2858	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
29	9, 28	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B e. CC )
30		csbeq1 3083	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) -> [_ k / x ]_ B = [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
31	19, 23, 29, 30	fisumrev2 11589	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
32		elfz3nn0 10181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
33	32	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> N e. NN0 )
34	21	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> j e. ZZ )
35		nn0cn 9250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
36		zcn 9322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
37		subcl 8218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ j e. CC ) -> ( N - j ) e. CC )
38	35, 36, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( N - j ) e. CC )
39	33, 34, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( N - j ) e. CC )
40	39	addlidd 8169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( 0 + ( N - j ) ) = ( N - j ) )
41	40	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) = ( ( N - j ) - n ) )
42	41	csbeq1d 3087	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
43	42	sumeq2dv 11511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
44	31, 43	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
45	44	sumeq2dv 11511	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
46		elfz3nn0 10181	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
48		addlid 8158	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( 0 + N ) = N )
49	47, 35, 48	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 + N ) = N )
50	49	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 0 + N ) - n ) = ( N - n ) )
51	50	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) = ( 0 ... ( N - n ) ) )
52	50	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
53	52	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
54	46	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> N e. NN0 )
55		elfzelz 10091	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
56	55	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> n e. ZZ )
57		elfzelz 10091	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - n ) ) -> j e. ZZ )
58	57	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> j e. ZZ )
59		zcn 9322	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
60		sub32 8253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ n e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
61	35, 59, 36, 60	syl3an 1291	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
62	54, 56, 58, 61	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
63	53, 62	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
64	63	csbeq1d 3087	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
65	51, 64	sumeq12rdv 11516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
66	65	sumeq2dv 11511	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
67	18, 45, 66	3eqtr4d 2236	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
68		0zd 9329	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
69		0zd 9329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
70		elfzelz 10091	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
72	69, 71	fzfigd 10502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
73		elfzuz3 10088	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
75		elfzuz3 10088	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
77	76	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
78		elfzuzb 10085	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( j ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
79	74, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( j ... N ) )
80		elfzelz 10091	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. ZZ )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
82	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ZZ )
83	70	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
84		fzsubel 10126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
85	81, 82, 83, 81, 84	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
86	79, 85	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) )
87		subid 8238	. . . . . . . . 9 |- ( j e. CC -> ( j - j ) = 0 )
88	81, 36, 87	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( j - j ) = 0 )
89	88	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) = ( 0 ... ( N - j ) ) )
90	86, 89	eleqtrd 2272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
91		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ph )
92		fzss2 10130	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` k ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
93	76, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
94	93	sselda 3179	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
95	91, 94, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
96		nfcsb1v 3113	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( k - j ) / x ]_ B
97	96	nfel1 2347	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC
98		csbeq1a 3089	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k - j ) -> B = [_ ( k - j ) / x ]_ B )
99	98	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = ( k - j ) -> ( B e. CC <-> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
100	97, 99	rspc 2858	. . . . . 6 |- ( ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
101	90, 95, 100	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
102	72, 101	fsumcl 11543	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
103		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) )
104		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( k - j ) = ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) )
105	104	csbeq1d 3087	. . . . . 6 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
106	105	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( k = ( ( 0 + N ) - n ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
107	103, 106	sumeq12dv 11515	. . . 4 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
108	68, 17, 102, 107	fisumrev2 11589	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
109	67, 108	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B )
110		vex 2763	. . . . . 6 |- k e. _V
111	110, 6	csbie 3126	. . . . 5 |- [_ k / x ]_ B = A
112	111	a1i 9	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B = A )
113	112	sumeq2dv 11511	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A )
114	113	sumeq2i 11507	. 2 |- sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A
115	70	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
116	80	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
117	115, 116	zsubcld 9444	. . . . 5 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ZZ )
118		fsum0diag2.2	. . . . . 6 |- ( x = ( k - j ) -> B = C )
119	118	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) /\ x = ( k - j ) ) -> B = C )
120	117, 119	csbied 3127	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = C )
121	120	sumeq2dv 11511	. . 3 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... k ) C )
122	121	sumeq2i 11507	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C
123	109, 114, 122	3eqtr3g 2249	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [_csb 3080   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   + caddc 7875   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  mertensabs  11680  plymullem1  14894