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Description: Two ways to express
"the sum of ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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fsum0diag2.1 |
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fsum0diag2.2 |
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fsum0diag2.3 |
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fisum0diag2.n |
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Ref | Expression |
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fisum0diag2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fznn0sub2 10160 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | ad2antll 491 |
. . . . . 6
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3 | fsum0diag2.3 |
. . . . . . . . . 10
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4 | 3 | expr 375 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | ralrimiv 2562 |
. . . . . . . 8
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6 | fsum0diag2.1 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | eleq1d 2258 |
. . . . . . . . 9
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8 | 7 | cbvralv 2718 |
. . . . . . . 8
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9 | 5, 8 | sylibr 134 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | adantrr 479 |
. . . . . 6
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11 | nfcsb1v 3105 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | nfel1 2343 |
. . . . . . 7
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13 | csbeq1a 3081 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | eleq1d 2258 |
. . . . . . 7
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15 | 12, 14 | rspc 2850 |
. . . . . 6
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16 | 2, 10, 15 | sylc 62 |
. . . . 5
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17 | fisum0diag2.n |
. . . . 5
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18 | 16, 17 | fisum0diag 11484 |
. . . 4
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19 | 0zd 9296 |
. . . . . . 7
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20 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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21 | elfzelz 10057 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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23 | 20, 22 | zsubcld 9411 |
. . . . . . 7
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24 | nfcsb1v 3105 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | nfel1 2343 |
. . . . . . . . 9
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26 | csbeq1a 3081 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | eleq1d 2258 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 27 | rspc 2850 |
. . . . . . . 8
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29 | 9, 28 | mpan9 281 |
. . . . . . 7
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30 | csbeq1 3075 |
. . . . . . 7
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31 | 19, 23, 29, 30 | fisumrev2 11489 |
. . . . . 6
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32 | elfz3nn0 10147 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 21 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | nn0cn 9217 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | zcn 9289 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | subcl 8187 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 35, 36, 37 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 33, 34, 38 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | addlidd 8138 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | oveq1d 5912 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | csbeq1d 3079 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | sumeq2dv 11411 |
. . . . . 6
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44 | 31, 43 | eqtrd 2222 |
. . . . 5
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45 | 44 | sumeq2dv 11411 |
. . . 4
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46 | elfz3nn0 10147 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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48 | addlid 8127 |
. . . . . . . . 9
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49 | 47, 35, 48 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | oveq1d 5912 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | oveq2d 5913 |
. . . . . 6
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52 | 50 | oveq1d 5912 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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54 | 46 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . 9
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55 | elfzelz 10057 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 55 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . 9
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57 | elfzelz 10057 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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59 | zcn 9289 |
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60 | sub32 8222 |
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61 | 35, 59, 36, 60 | syl3an 1291 |
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62 | 54, 56, 58, 61 | syl3anc 1249 |
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63 | 53, 62 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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64 | 63 | csbeq1d 3079 |
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65 | 51, 64 | sumeq12rdv 11416 |
. . . . 5
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66 | 65 | sumeq2dv 11411 |
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67 | 18, 45, 66 | 3eqtr4d 2232 |
. . 3
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68 | 0zd 9296 |
. . . 4
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69 | 0zd 9296 |
. . . . . 6
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70 | elfzelz 10057 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | adantl 277 |
. . . . . 6
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72 | 69, 71 | fzfigd 10464 |
. . . . 5
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73 | elfzuz3 10054 |
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74 | 73 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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75 | elfzuz3 10054 |
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76 | 75 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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78 | elfzuzb 10051 |
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79 | 74, 77, 78 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . 8
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80 | elfzelz 10057 |
. . . . . . . . . 10
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81 | 80 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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82 | 17 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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83 | 70 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . 9
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84 | fzsubel 10092 |
. . . . . . . . 9
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85 | 81, 82, 83, 81, 84 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . 8
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86 | 79, 85 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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87 | subid 8207 |
. . . . . . . . 9
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88 | 81, 36, 87 | 3syl 17 |
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89 | 88 | oveq1d 5912 |
. . . . . . 7
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90 | 86, 89 | eleqtrd 2268 |
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91 | simpll 527 |
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92 | fzss2 10096 |
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93 | 76, 92 | syl 14 |
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94 | 93 | sselda 3170 |
. . . . . . 7
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95 | 91, 94, 9 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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96 | nfcsb1v 3105 |
. . . . . . . 8
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97 | 96 | nfel1 2343 |
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98 | csbeq1a 3081 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | eleq1d 2258 |
. . . . . . 7
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100 | 97, 99 | rspc 2850 |
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101 | 90, 95, 100 | sylc 62 |
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102 | 72, 101 | fsumcl 11443 |
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103 | oveq2 5905 |
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104 | oveq1 5904 |
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105 | 104 | csbeq1d 3079 |
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106 | 105 | adantr 276 |
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107 | 103, 106 | sumeq12dv 11415 |
. . . 4
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108 | 68, 17, 102, 107 | fisumrev2 11489 |
. . 3
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109 | 67, 108 | eqtr4d 2225 |
. 2
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110 | vex 2755 |
. . . . . 6
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111 | 110, 6 | csbie 3117 |
. . . . 5
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112 | 111 | a1i 9 |
. . . 4
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113 | 112 | sumeq2dv 11411 |
. . 3
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114 | 113 | sumeq2i 11407 |
. 2
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115 | 70 | adantr 276 |
. . . . . 6
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116 | 80 | adantl 277 |
. . . . . 6
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117 | 115, 116 | zsubcld 9411 |
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118 | fsum0diag2.2 |
. . . . . 6
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119 | 118 | adantl 277 |
. . . . 5
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120 | 117, 119 | csbied 3118 |
. . . 4
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121 | 120 | sumeq2dv 11411 |
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122 | 121 | sumeq2i 11407 |
. 2
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123 | 109, 114, 122 | 3eqtr3g 2245 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960 ax-arch 7961 ax-caucvg 7962 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-disj 3996 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-irdg 6396 df-frec 6417 df-1o 6442 df-oadd 6446 df-er 6560 df-en 6768 df-dom 6769 df-fin 6770 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-2 9009 df-3 9010 df-4 9011 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-q 9652 df-rp 9686 df-fz 10041 df-fzo 10175 df-seqfrec 10479 df-exp 10554 df-ihash 10791 df-cj 10886 df-re 10887 df-im 10888 df-rsqrt 11042 df-abs 11043 df-clim 11322 df-sumdc 11397 |
This theorem is referenced by: mertensabs 11580 |
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