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Description: Two ways to express
"the sum of ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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fsum0diag2.1 |
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fsum0diag2.2 |
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fsum0diag2.3 |
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fisum0diag2.n |
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Ref | Expression |
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fisum0diag2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fznn0sub2 9795 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | ad2antll 480 |
. . . . . 6
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3 | fsum0diag2.3 |
. . . . . . . . . 10
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4 | 3 | expr 370 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | ralrimiv 2478 |
. . . . . . . 8
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6 | fsum0diag2.1 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | eleq1d 2183 |
. . . . . . . . 9
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8 | 7 | cbvralv 2628 |
. . . . . . . 8
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9 | 5, 8 | sylibr 133 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | adantrr 468 |
. . . . . 6
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11 | nfcsb1v 3001 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | nfel1 2266 |
. . . . . . 7
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13 | csbeq1a 2979 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | eleq1d 2183 |
. . . . . . 7
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15 | 12, 14 | rspc 2754 |
. . . . . 6
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16 | 2, 10, 15 | sylc 62 |
. . . . 5
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17 | fisum0diag2.n |
. . . . 5
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18 | 16, 17 | fisum0diag 11099 |
. . . 4
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19 | 0zd 8967 |
. . . . . . 7
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20 | 17 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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21 | elfzelz 9696 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | adantl 273 |
. . . . . . . 8
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23 | 20, 22 | zsubcld 9079 |
. . . . . . 7
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24 | nfcsb1v 3001 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | nfel1 2266 |
. . . . . . . . 9
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26 | csbeq1a 2979 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | eleq1d 2183 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 27 | rspc 2754 |
. . . . . . . 8
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29 | 9, 28 | mpan9 277 |
. . . . . . 7
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30 | csbeq1 2974 |
. . . . . . 7
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31 | 19, 23, 29, 30 | fisumrev2 11104 |
. . . . . 6
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32 | elfz3nn0 9785 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 21 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | nn0cn 8888 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | zcn 8960 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | subcl 7881 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 35, 36, 37 | syl2an 285 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 33, 34, 38 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | addid2d 7832 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | oveq1d 5743 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | csbeq1d 2977 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | sumeq2dv 11026 |
. . . . . 6
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44 | 31, 43 | eqtrd 2147 |
. . . . 5
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45 | 44 | sumeq2dv 11026 |
. . . 4
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46 | elfz3nn0 9785 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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48 | addid2 7821 |
. . . . . . . . 9
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49 | 47, 35, 48 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | oveq1d 5743 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | oveq2d 5744 |
. . . . . 6
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52 | 50 | oveq1d 5743 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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54 | 46 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . 9
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55 | elfzelz 9696 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 55 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . 9
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57 | elfzelz 9696 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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59 | zcn 8960 |
. . . . . . . . . 10
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60 | sub32 7916 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 35, 59, 36, 60 | syl3an 1241 |
. . . . . . . . 9
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62 | 54, 56, 58, 61 | syl3anc 1199 |
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63 | 53, 62 | eqtrd 2147 |
. . . . . . 7
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64 | 63 | csbeq1d 2977 |
. . . . . 6
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65 | 51, 64 | sumeq12rdv 11031 |
. . . . 5
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66 | 65 | sumeq2dv 11026 |
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67 | 18, 45, 66 | 3eqtr4d 2157 |
. . 3
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68 | 0zd 8967 |
. . . 4
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69 | 0zd 8967 |
. . . . . 6
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70 | elfzelz 9696 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | adantl 273 |
. . . . . 6
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72 | 69, 71 | fzfigd 10094 |
. . . . 5
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74 | 73 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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75 | elfzuz3 9693 |
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76 | 75 | adantl 273 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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78 | elfzuzb 9690 |
. . . . . . . . 9
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79 | 74, 77, 78 | sylanbrc 411 |
. . . . . . . 8
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80 | elfzelz 9696 |
. . . . . . . . . 10
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81 | 80 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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82 | 17 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . 9
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83 | 70 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . 9
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84 | fzsubel 9730 |
. . . . . . . . 9
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85 | 81, 82, 83, 81, 84 | syl22anc 1200 |
. . . . . . . 8
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86 | 79, 85 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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87 | subid 7901 |
. . . . . . . . 9
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88 | 81, 36, 87 | 3syl 17 |
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89 | 88 | oveq1d 5743 |
. . . . . . 7
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90 | 86, 89 | eleqtrd 2193 |
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91 | simpll 501 |
. . . . . . 7
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92 | fzss2 9734 |
. . . . . . . . 9
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93 | 76, 92 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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94 | 93 | sselda 3063 |
. . . . . . 7
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95 | 91, 94, 9 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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96 | nfcsb1v 3001 |
. . . . . . . 8
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97 | 96 | nfel1 2266 |
. . . . . . 7
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98 | csbeq1a 2979 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | eleq1d 2183 |
. . . . . . 7
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100 | 97, 99 | rspc 2754 |
. . . . . 6
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101 | 90, 95, 100 | sylc 62 |
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102 | 72, 101 | fsumcl 11058 |
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103 | oveq2 5736 |
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104 | oveq1 5735 |
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105 | 104 | csbeq1d 2977 |
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106 | 105 | adantr 272 |
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107 | 103, 106 | sumeq12dv 11030 |
. . . 4
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108 | 68, 17, 102, 107 | fisumrev2 11104 |
. . 3
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109 | 67, 108 | eqtr4d 2150 |
. 2
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110 | vex 2660 |
. . . . . 6
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111 | 110, 6 | csbie 3011 |
. . . . 5
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112 | 111 | a1i 9 |
. . . 4
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113 | 112 | sumeq2dv 11026 |
. . 3
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114 | 113 | sumeq2i 11022 |
. 2
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115 | 70 | adantr 272 |
. . . . . 6
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116 | 80 | adantl 273 |
. . . . . 6
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117 | 115, 116 | zsubcld 9079 |
. . . . 5
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118 | fsum0diag2.2 |
. . . . . 6
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119 | 118 | adantl 273 |
. . . . 5
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120 | 117, 119 | csbied 3012 |
. . . 4
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121 | 120 | sumeq2dv 11026 |
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122 | 121 | sumeq2i 11022 |
. 2
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123 | 109, 114, 122 | 3eqtr3g 2170 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-coll 4003 ax-sep 4006 ax-nul 4014 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-iinf 4462 ax-cnex 7633 ax-resscn 7634 ax-1cn 7635 ax-1re 7636 ax-icn 7637 ax-addcl 7638 ax-addrcl 7639 ax-mulcl 7640 ax-mulrcl 7641 ax-addcom 7642 ax-mulcom 7643 ax-addass 7644 ax-mulass 7645 ax-distr 7646 ax-i2m1 7647 ax-0lt1 7648 ax-1rid 7649 ax-0id 7650 ax-rnegex 7651 ax-precex 7652 ax-cnre 7653 ax-pre-ltirr 7654 ax-pre-ltwlin 7655 ax-pre-lttrn 7656 ax-pre-apti 7657 ax-pre-ltadd 7658 ax-pre-mulgt0 7659 ax-pre-mulext 7660 ax-arch 7661 ax-caucvg 7662 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-nel 2378 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rmo 2398 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-nul 3330 df-if 3441 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-int 3738 df-iun 3781 df-disj 3873 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-tr 3987 df-id 4175 df-po 4178 df-iso 4179 df-iord 4248 df-on 4250 df-ilim 4251 df-suc 4253 df-iom 4465 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-f1 5086 df-fo 5087 df-f1o 5088 df-fv 5089 df-isom 5090 df-riota 5684 df-ov 5731 df-oprab 5732 df-mpo 5733 df-1st 5992 df-2nd 5993 df-recs 6156 df-irdg 6221 df-frec 6242 df-1o 6267 df-oadd 6271 df-er 6383 df-en 6589 df-dom 6590 df-fin 6591 df-pnf 7723 df-mnf 7724 df-xr 7725 df-ltxr 7726 df-le 7727 df-sub 7855 df-neg 7856 df-reap 8252 df-ap 8259 df-div 8343 df-inn 8628 df-2 8686 df-3 8687 df-4 8688 df-n0 8879 df-z 8956 df-uz 9226 df-q 9311 df-rp 9341 df-fz 9681 df-fzo 9810 df-seqfrec 10109 df-exp 10183 df-ihash 10412 df-cj 10504 df-re 10505 df-im 10506 df-rsqrt 10659 df-abs 10660 df-clim 10937 df-sumdc 11012 |
This theorem is referenced by: mertensabs 11195 |
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