Theorem fisum0diag2 11958

Description: Two ways to express "the sum of A ( j , k ) over the triangular region 0 <_ j, 0 <_ k, j + k <_ N". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag2.1	|- ( x = k -> B = A )
fsum0diag2.2	|- ( x = ( k - j ) -> B = C )
fsum0diag2.3	|- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
fisum0diag2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fisum0diag2	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Distinct variable groups:   j, k, x, N   ph, j, k   B, k   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( j, k)   B( x, j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisum0diag2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fznn0sub2 10324	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
2	1	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
3		fsum0diag2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
4	3	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> A e. CC ) )
5	4	ralrimiv 2602	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
6		fsum0diag2.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = A )
7	6	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> A e. CC ) )
8	7	cbvralv 2765	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC <-> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
9	5, 8	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
10	9	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
11		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B
12	11	nfel1 2383	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC
13		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
14	13	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2901	. . . . . 6 |- ( ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
16	2, 10, 15	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC )
17		fisum0diag2.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	16, 17	fisum0diag 11952	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
19		0zd 9458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
20	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		elfzelz 10221	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
23	20, 22	zsubcld 9574	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - j ) e. ZZ )
24		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
25	24	nfel1 2383	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ k / x ]_ B e. CC
26		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
27	26	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
28	25, 27	rspc 2901	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
29	9, 28	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B e. CC )
30		csbeq1 3127	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) -> [_ k / x ]_ B = [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
31	19, 23, 29, 30	fisumrev2 11957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
32		elfz3nn0 10311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
33	32	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> N e. NN0 )
34	21	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> j e. ZZ )
35		nn0cn 9379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
36		zcn 9451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
37		subcl 8345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ j e. CC ) -> ( N - j ) e. CC )
38	35, 36, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( N - j ) e. CC )
39	33, 34, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( N - j ) e. CC )
40	39	addlidd 8296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( 0 + ( N - j ) ) = ( N - j ) )
41	40	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) = ( ( N - j ) - n ) )
42	41	csbeq1d 3131	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
43	42	sumeq2dv 11879	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
44	31, 43	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
45	44	sumeq2dv 11879	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
46		elfz3nn0 10311	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
48		addlid 8285	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( 0 + N ) = N )
49	47, 35, 48	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 + N ) = N )
50	49	oveq1d 6016	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 0 + N ) - n ) = ( N - n ) )
51	50	oveq2d 6017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) = ( 0 ... ( N - n ) ) )
52	50	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
53	52	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
54	46	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> N e. NN0 )
55		elfzelz 10221	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
56	55	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> n e. ZZ )
57		elfzelz 10221	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - n ) ) -> j e. ZZ )
58	57	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> j e. ZZ )
59		zcn 9451	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
60		sub32 8380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ n e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
61	35, 59, 36, 60	syl3an 1313	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
62	54, 56, 58, 61	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
63	53, 62	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
64	63	csbeq1d 3131	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
65	51, 64	sumeq12rdv 11884	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
66	65	sumeq2dv 11879	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
67	18, 45, 66	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
68		0zd 9458	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
69		0zd 9458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
70		elfzelz 10221	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
72	69, 71	fzfigd 10653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
73		elfzuz3 10218	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
75		elfzuz3 10218	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
77	76	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
78		elfzuzb 10215	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( j ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
79	74, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( j ... N ) )
80		elfzelz 10221	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. ZZ )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
82	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ZZ )
83	70	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
84		fzsubel 10256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
85	81, 82, 83, 81, 84	syl22anc 1272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
86	79, 85	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) )
87		subid 8365	. . . . . . . . 9 |- ( j e. CC -> ( j - j ) = 0 )
88	81, 36, 87	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( j - j ) = 0 )
89	88	oveq1d 6016	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) = ( 0 ... ( N - j ) ) )
90	86, 89	eleqtrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
91		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ph )
92		fzss2 10260	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` k ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
93	76, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
94	93	sselda 3224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
95	91, 94, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
96		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( k - j ) / x ]_ B
97	96	nfel1 2383	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC
98		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k - j ) -> B = [_ ( k - j ) / x ]_ B )
99	98	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( x = ( k - j ) -> ( B e. CC <-> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
100	97, 99	rspc 2901	. . . . . 6 |- ( ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
101	90, 95, 100	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
102	72, 101	fsumcl 11911	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
103		oveq2 6009	. . . . 5 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) )
104		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( k - j ) = ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) )
105	104	csbeq1d 3131	. . . . . 6 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
106	105	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( k = ( ( 0 + N ) - n ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
107	103, 106	sumeq12dv 11883	. . . 4 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
108	68, 17, 102, 107	fisumrev2 11957	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
109	67, 108	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B )
110		vex 2802	. . . . . 6 |- k e. _V
111	110, 6	csbie 3170	. . . . 5 |- [_ k / x ]_ B = A
112	111	a1i 9	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B = A )
113	112	sumeq2dv 11879	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A )
114	113	sumeq2i 11875	. 2 |- sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A
115	70	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
116	80	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
117	115, 116	zsubcld 9574	. . . . 5 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ZZ )
118		fsum0diag2.2	. . . . . 6 |- ( x = ( k - j ) -> B = C )
119	118	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) /\ x = ( k - j ) ) -> B = C )
120	117, 119	csbied 3171	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = C )
121	120	sumeq2dv 11879	. . 3 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... k ) C )
122	121	sumeq2i 11875	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C
123	109, 114, 122	3eqtr3g 2285	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   + caddc 8002   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  mertensabs  12048  plymullem1  15422