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Description: Two ways to express
"the sum of ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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fsum0diag2.1 |
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fsum0diag2.2 |
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fsum0diag2.3 |
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fisum0diag2.n |
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Ref | Expression |
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fisum0diag2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fznn0sub2 9535 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | ad2antll 475 |
. . . . . 6
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3 | fsum0diag2.3 |
. . . . . . . . . 10
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4 | 3 | expr 367 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | ralrimiv 2445 |
. . . . . . . 8
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6 | fsum0diag2.1 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | eleq1d 2156 |
. . . . . . . . 9
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8 | 7 | cbvralv 2590 |
. . . . . . . 8
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9 | 5, 8 | sylibr 132 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | adantrr 463 |
. . . . . 6
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11 | nfcsb1v 2963 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | nfel1 2239 |
. . . . . . 7
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13 | csbeq1a 2941 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | eleq1d 2156 |
. . . . . . 7
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15 | 12, 14 | rspc 2716 |
. . . . . 6
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16 | 2, 10, 15 | sylc 61 |
. . . . 5
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17 | fisum0diag2.n |
. . . . 5
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18 | 16, 17 | fisum0diag 10831 |
. . . 4
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19 | 0zd 8760 |
. . . . . . 7
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20 | 17 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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21 | elfzelz 9438 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
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23 | 20, 22 | zsubcld 8871 |
. . . . . . 7
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24 | nfcsb1v 2963 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | nfel1 2239 |
. . . . . . . . 9
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26 | csbeq1a 2941 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | eleq1d 2156 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 27 | rspc 2716 |
. . . . . . . 8
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29 | 9, 28 | mpan9 275 |
. . . . . . 7
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30 | csbeq1 2936 |
. . . . . . 7
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31 | 19, 23, 29, 30 | fisumrev2 10836 |
. . . . . 6
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32 | elfz3nn0 9525 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ad2antlr 473 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 21 | ad2antlr 473 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | nn0cn 8681 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | zcn 8753 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | subcl 7679 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 35, 36, 37 | syl2an 283 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 33, 34, 38 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | addid2d 7630 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | oveq1d 5667 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | csbeq1d 2939 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | sumeq2dv 10753 |
. . . . . 6
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44 | 31, 43 | eqtrd 2120 |
. . . . 5
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45 | 44 | sumeq2dv 10753 |
. . . 4
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46 | elfz3nn0 9525 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | adantl 271 |
. . . . . . . . 9
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48 | addid2 7619 |
. . . . . . . . 9
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49 | 47, 35, 48 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | oveq1d 5667 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | oveq2d 5668 |
. . . . . 6
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52 | 50 | oveq1d 5667 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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54 | 46 | ad2antlr 473 |
. . . . . . . . 9
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55 | elfzelz 9438 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 55 | ad2antlr 473 |
. . . . . . . . 9
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57 | elfzelz 9438 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | adantl 271 |
. . . . . . . . 9
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59 | zcn 8753 |
. . . . . . . . . 10
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60 | sub32 7714 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 35, 59, 36, 60 | syl3an 1216 |
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62 | 54, 56, 58, 61 | syl3anc 1174 |
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63 | 53, 62 | eqtrd 2120 |
. . . . . . 7
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64 | 63 | csbeq1d 2939 |
. . . . . 6
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65 | 51, 64 | sumeq12rdv 10758 |
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66 | 65 | sumeq2dv 10753 |
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67 | 18, 45, 66 | 3eqtr4d 2130 |
. . 3
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68 | 0zd 8760 |
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69 | 0zd 8760 |
. . . . . 6
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70 | elfzelz 9438 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | adantl 271 |
. . . . . 6
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72 | 69, 71 | fzfigd 9834 |
. . . . 5
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73 | elfzuz3 9435 |
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74 | 73 | adantl 271 |
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75 | elfzuz3 9435 |
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76 | 75 | adantl 271 |
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77 | 76 | adantr 270 |
. . . . . . . . 9
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78 | elfzuzb 9432 |
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79 | 74, 77, 78 | sylanbrc 408 |
. . . . . . . 8
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80 | elfzelz 9438 |
. . . . . . . . . 10
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81 | 80 | adantl 271 |
. . . . . . . . 9
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82 | 17 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . 9
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83 | 70 | ad2antlr 473 |
. . . . . . . . 9
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84 | fzsubel 9471 |
. . . . . . . . 9
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85 | 81, 82, 83, 81, 84 | syl22anc 1175 |
. . . . . . . 8
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86 | 79, 85 | mpbid 145 |
. . . . . . 7
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87 | subid 7699 |
. . . . . . . . 9
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88 | 81, 36, 87 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
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89 | 88 | oveq1d 5667 |
. . . . . . 7
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90 | 86, 89 | eleqtrd 2166 |
. . . . . 6
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91 | simpll 496 |
. . . . . . 7
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92 | fzss2 9475 |
. . . . . . . . 9
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93 | 76, 92 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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94 | 93 | sselda 3025 |
. . . . . . 7
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95 | 91, 94, 9 | syl2anc 403 |
. . . . . 6
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96 | nfcsb1v 2963 |
. . . . . . . 8
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97 | 96 | nfel1 2239 |
. . . . . . 7
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98 | csbeq1a 2941 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | eleq1d 2156 |
. . . . . . 7
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100 | 97, 99 | rspc 2716 |
. . . . . 6
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101 | 90, 95, 100 | sylc 61 |
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102 | 72, 101 | fsumcl 10790 |
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103 | oveq2 5660 |
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104 | oveq1 5659 |
. . . . . . 7
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105 | 104 | csbeq1d 2939 |
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106 | 105 | adantr 270 |
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107 | 103, 106 | sumeq12dv 10757 |
. . . 4
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108 | 68, 17, 102, 107 | fisumrev2 10836 |
. . 3
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109 | 67, 108 | eqtr4d 2123 |
. 2
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110 | vex 2622 |
. . . . . 6
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111 | 110, 6 | csbie 2973 |
. . . . 5
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112 | 111 | a1i 9 |
. . . 4
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113 | 112 | sumeq2dv 10753 |
. . 3
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114 | 113 | sumeq2i 10749 |
. 2
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115 | 70 | adantr 270 |
. . . . . 6
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116 | 80 | adantl 271 |
. . . . . 6
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117 | 115, 116 | zsubcld 8871 |
. . . . 5
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118 | fsum0diag2.2 |
. . . . . 6
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119 | 118 | adantl 271 |
. . . . 5
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120 | 117, 119 | csbied 2974 |
. . . 4
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121 | 120 | sumeq2dv 10753 |
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122 | 121 | sumeq2i 10749 |
. 2
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123 | 109, 114, 122 | 3eqtr3g 2143 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3954 ax-sep 3957 ax-nul 3965 ax-pow 4009 ax-pr 4036 ax-un 4260 ax-setind 4353 ax-iinf 4403 ax-cnex 7434 ax-resscn 7435 ax-1cn 7436 ax-1re 7437 ax-icn 7438 ax-addcl 7439 ax-addrcl 7440 ax-mulcl 7441 ax-mulrcl 7442 ax-addcom 7443 ax-mulcom 7444 ax-addass 7445 ax-mulass 7446 ax-distr 7447 ax-i2m1 7448 ax-0lt1 7449 ax-1rid 7450 ax-0id 7451 ax-rnegex 7452 ax-precex 7453 ax-cnre 7454 ax-pre-ltirr 7455 ax-pre-ltwlin 7456 ax-pre-lttrn 7457 ax-pre-apti 7458 ax-pre-ltadd 7459 ax-pre-mulgt0 7460 ax-pre-mulext 7461 ax-arch 7462 ax-caucvg 7463 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-nel 2351 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rmo 2367 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-if 3394 df-pw 3431 df-sn 3452 df-pr 3453 df-op 3455 df-uni 3654 df-int 3689 df-iun 3732 df-disj 3823 df-br 3846 df-opab 3900 df-mpt 3901 df-tr 3937 df-id 4120 df-po 4123 df-iso 4124 df-iord 4193 df-on 4195 df-ilim 4196 df-suc 4198 df-iom 4406 df-xp 4444 df-rel 4445 df-cnv 4446 df-co 4447 df-dm 4448 df-rn 4449 df-res 4450 df-ima 4451 df-iota 4980 df-fun 5017 df-fn 5018 df-f 5019 df-f1 5020 df-fo 5021 df-f1o 5022 df-fv 5023 df-isom 5024 df-riota 5608 df-ov 5655 df-oprab 5656 df-mpt2 5657 df-1st 5911 df-2nd 5912 df-recs 6070 df-irdg 6135 df-frec 6156 df-1o 6181 df-oadd 6185 df-er 6290 df-en 6456 df-dom 6457 df-fin 6458 df-pnf 7522 df-mnf 7523 df-xr 7524 df-ltxr 7525 df-le 7526 df-sub 7653 df-neg 7654 df-reap 8050 df-ap 8057 df-div 8138 df-inn 8421 df-2 8479 df-3 8480 df-4 8481 df-n0 8672 df-z 8749 df-uz 9018 df-q 9103 df-rp 9133 df-fz 9423 df-fzo 9550 df-iseq 9849 df-seq3 9850 df-exp 9951 df-ihash 10180 df-cj 10272 df-re 10273 df-im 10274 df-rsqrt 10427 df-abs 10428 df-clim 10663 df-isum 10739 |
This theorem is referenced by: mertensabs 10927 |
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