Theorem fisum0diag2 11216

Description: Two ways to express "the sum of A ( j , k ) over the triangular region 0 <_ j, 0 <_ k, j + k <_ N." (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag2.1	|- ( x = k -> B = A )
fsum0diag2.2	|- ( x = ( k - j ) -> B = C )
fsum0diag2.3	|- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
fisum0diag2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fisum0diag2	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Distinct variable groups:   j, k, x, N   ph, j, k   B, k   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( j, k)   B( x, j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisum0diag2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fznn0sub2 9905	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
2	1	ad2antll 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
3		fsum0diag2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
4	3	expr 372	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> A e. CC ) )
5	4	ralrimiv 2504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
6		fsum0diag2.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = A )
7	6	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> A e. CC ) )
8	7	cbvralv 2654	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC <-> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
9	5, 8	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
10	9	adantrr 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
11		nfcsb1v 3035	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B
12	11	nfel1 2292	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC
13		csbeq1a 3012	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
14	13	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2783	. . . . . 6 |- ( ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
16	2, 10, 15	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC )
17		fisum0diag2.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	16, 17	fisum0diag 11210	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
19		0zd 9066	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
20	17	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		elfzelz 9806	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
22	21	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
23	20, 22	zsubcld 9178	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - j ) e. ZZ )
24		nfcsb1v 3035	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
25	24	nfel1 2292	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ k / x ]_ B e. CC
26		csbeq1a 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
27	26	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
28	25, 27	rspc 2783	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
29	9, 28	mpan9 279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B e. CC )
30		csbeq1 3006	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) -> [_ k / x ]_ B = [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
31	19, 23, 29, 30	fisumrev2 11215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
32		elfz3nn0 9895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
33	32	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> N e. NN0 )
34	21	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> j e. ZZ )
35		nn0cn 8987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
36		zcn 9059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
37		subcl 7961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ j e. CC ) -> ( N - j ) e. CC )
38	35, 36, 37	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( N - j ) e. CC )
39	33, 34, 38	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( N - j ) e. CC )
40	39	addid2d 7912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( 0 + ( N - j ) ) = ( N - j ) )
41	40	oveq1d 5789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) = ( ( N - j ) - n ) )
42	41	csbeq1d 3010	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
43	42	sumeq2dv 11137	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
44	31, 43	eqtrd 2172	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
45	44	sumeq2dv 11137	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
46		elfz3nn0 9895	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
47	46	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
48		addid2 7901	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( 0 + N ) = N )
49	47, 35, 48	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 + N ) = N )
50	49	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 0 + N ) - n ) = ( N - n ) )
51	50	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) = ( 0 ... ( N - n ) ) )
52	50	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
53	52	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
54	46	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> N e. NN0 )
55		elfzelz 9806	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
56	55	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> n e. ZZ )
57		elfzelz 9806	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - n ) ) -> j e. ZZ )
58	57	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> j e. ZZ )
59		zcn 9059	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
60		sub32 7996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ n e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
61	35, 59, 36, 60	syl3an 1258	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
62	54, 56, 58, 61	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
63	53, 62	eqtrd 2172	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
64	63	csbeq1d 3010	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
65	51, 64	sumeq12rdv 11142	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
66	65	sumeq2dv 11137	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
67	18, 45, 66	3eqtr4d 2182	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
68		0zd 9066	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
69		0zd 9066	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
70		elfzelz 9806	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
71	70	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
72	69, 71	fzfigd 10204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
73		elfzuz3 9803	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
74	73	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
75		elfzuz3 9803	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
77	76	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
78		elfzuzb 9800	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( j ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
79	74, 77, 78	sylanbrc 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( j ... N ) )
80		elfzelz 9806	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. ZZ )
81	80	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
82	17	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ZZ )
83	70	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
84		fzsubel 9840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
85	81, 82, 83, 81, 84	syl22anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
86	79, 85	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) )
87		subid 7981	. . . . . . . . 9 |- ( j e. CC -> ( j - j ) = 0 )
88	81, 36, 87	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( j - j ) = 0 )
89	88	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) = ( 0 ... ( N - j ) ) )
90	86, 89	eleqtrd 2218	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
91		simpll 518	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ph )
92		fzss2 9844	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` k ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
93	76, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
94	93	sselda 3097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
95	91, 94, 9	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
96		nfcsb1v 3035	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( k - j ) / x ]_ B
97	96	nfel1 2292	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC
98		csbeq1a 3012	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k - j ) -> B = [_ ( k - j ) / x ]_ B )
99	98	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( x = ( k - j ) -> ( B e. CC <-> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
100	97, 99	rspc 2783	. . . . . 6 |- ( ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
101	90, 95, 100	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
102	72, 101	fsumcl 11169	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
103		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) )
104		oveq1 5781	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( k - j ) = ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) )
105	104	csbeq1d 3010	. . . . . 6 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
106	105	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( k = ( ( 0 + N ) - n ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
107	103, 106	sumeq12dv 11141	. . . 4 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
108	68, 17, 102, 107	fisumrev2 11215	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
109	67, 108	eqtr4d 2175	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B )
110		vex 2689	. . . . . 6 |- k e. _V
111	110, 6	csbie 3045	. . . . 5 |- [_ k / x ]_ B = A
112	111	a1i 9	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B = A )
113	112	sumeq2dv 11137	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A )
114	113	sumeq2i 11133	. 2 |- sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A
115	70	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
116	80	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
117	115, 116	zsubcld 9178	. . . . 5 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ZZ )
118		fsum0diag2.2	. . . . . 6 |- ( x = ( k - j ) -> B = C )
119	118	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) /\ x = ( k - j ) ) -> B = C )
120	117, 119	csbied 3046	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = C )
121	120	sumeq2dv 11137	. . 3 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... k ) C )
122	121	sumeq2i 11133	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C
123	109, 114, 122	3eqtr3g 2195	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003   C_ wss 3071   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  mertensabs  11306