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Theorem fisum0diag2 11490
Description: Two ways to express "the sum of  A ( j ,  k ) over the triangular region  0  <_  j, 
0  <_  k,  j  +  k  <_  N". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum0diag2.1  |-  ( x  =  k  ->  B  =  A )
fsum0diag2.2  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  C )
fsum0diag2.3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A  e.  CC )
fisum0diag2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
fisum0diag2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k    B, k    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( j,
k)    B( x, j)    C( j, k)

Proof of Theorem fisum0diag2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fznn0sub2 10160 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  (
( N  -  j
)  -  n )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) )
21ad2antll 491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  -> 
( ( N  -  j )  -  n
)  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) )
3 fsum0diag2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A  e.  CC )
43expr 375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )  ->  A  e.  CC )
)
54ralrimiv 2562 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) A  e.  CC )
6 fsum0diag2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  A )
76eleq1d 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  A  e.  CC ) )
87cbvralv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  <->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) A  e.  CC )
95, 8sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) B  e.  CC )
109adantrr 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC )
11 nfcsb1v 3105 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B
1211nfel1 2343 . . . . . . 7  |-  F/ x [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  e.  CC
13 csbeq1a 3081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( N  -  j )  -  n )  ->  B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
1413eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( N  -  j )  -  n )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
1512, 14rspc 2850 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  j
)  -  n )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
162, 10, 15sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  e.  CC )
17 fisum0diag2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1816, 17fisum0diag 11484 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) )
[_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
19 0zd 9296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
2017adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
21 elfzelz 10057 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
2221adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  j  e.  ZZ )
2320, 22zsubcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  j )  e.  ZZ )
24 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ B
2524nfel1 2343 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ k  /  x ]_ B  e.  CC
26 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
2726eleq1d 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC ) )
2825, 27rspc 2850 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC ) )
299, 28mpan9 281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC )
30 csbeq1 3075 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B )
3119, 23, 29, 30fisumrev2 11489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B
)
32 elfz3nn0 10147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
3332ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  N  e.  NN0 )
3421ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
35 nn0cn 9217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
36 zcn 9289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  CC )
37 subcl 8187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
3835, 36, 37syl2an 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
3933, 34, 38syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  ( N  -  j )  e.  CC )
4039addlidd 8138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  (
0  +  ( N  -  j ) )  =  ( N  -  j ) )
4140oveq1d 5912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
4241csbeq1d 3079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  [_ (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
4342sumeq2dv 11411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
4431, 43eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
4544sumeq2dv 11411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
46 elfz3nn0 10147 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
4746adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
48 addlid 8127 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  N )  =  N )
4947, 35, 483syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  +  N )  =  N )
5049oveq1d 5912 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( 0  +  N
)  -  n )  =  ( N  -  n ) )
5150oveq2d 5913 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) )  =  ( 0 ... ( N  -  n )
) )
5250oveq1d 5912 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  n )  -  j ) )
5352adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  n )  -  j ) )
5446ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  N  e.  NN0 )
55 elfzelz 10057 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
5655ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  n  e.  ZZ )
57 elfzelz 10057 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  n
) )  ->  j  e.  ZZ )
5857adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  j  e.  ZZ )
59 zcn 9289 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
60 sub32 8222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
6135, 59, 36, 60syl3an 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
6254, 56, 58, 61syl3anc 1249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
6353, 62eqtrd 2222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
6463csbeq1d 3079 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  [_ (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
6551, 64sumeq12rdv 11416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) ) [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B )
6665sumeq2dv 11411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j
)  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) )
[_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
6718, 45, 663eqtr4d 2232 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
68 0zd 9296 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
69 0zd 9296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
70 elfzelz 10057 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
7170adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
7269, 71fzfigd 10464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... k )  e. 
Fin )
73 elfzuz3 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7473adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
75 elfzuz3 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7675adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7776adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
78 elfzuzb 10051 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( j ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
7974, 77, 78sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ( j ... N
) )
80 elfzelz 10057 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  ZZ )
8180adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  ZZ )
8217ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  N  e.  ZZ )
8370ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ZZ )
84 fzsubel 10092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( j ... N )  <-> 
( k  -  j
)  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j ) ) ) )
8581, 82, 83, 81, 84syl22anc 1250 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  e.  ( j ... N )  <->  ( k  -  j )  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j )
) ) )
8679, 85mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j
) ) )
87 subid 8207 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8881, 36, 873syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8988oveq1d 5912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( j  -  j
) ... ( N  -  j ) )  =  ( 0 ... ( N  -  j )
) )
9086, 89eleqtrd 2268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) )
91 simpll 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ph )
92 fzss2 10096 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( 0 ... k )  C_  ( 0 ... N
) )
9376, 92syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... k )  C_  ( 0 ... N
) )
9493sselda 3170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
9591, 94, 9syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) B  e.  CC )
96 nfcsb1v 3105 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B
9796nfel1 2343 . . . . . . 7  |-  F/ x [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B  e.  CC
98 csbeq1a 3081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B )
9998eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
10097, 99rspc 2850 . . . . . 6  |-  ( ( k  -  j )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
10190, 95, 100sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC )
10272, 101fsumcl 11443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC )
103 oveq2 5905 . . . . 5  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  (
0 ... k )  =  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) )
104 oveq1 5904 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  (
k  -  j )  =  ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j ) )
105104csbeq1d 3079 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
106105adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  /  x ]_ B
)
107103, 106sumeq12dv 11415 . . . 4  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j
)  /  x ]_ B )
10868, 17, 102, 107fisumrev2 11489 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N )
sum_ j  e.  ( 0 ... k )
[_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
10967, 108eqtr4d 2225 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B )
110 vex 2755 . . . . . 6  |-  k  e. 
_V
111110, 6csbie 3117 . . . . 5  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  A
112111a1i 9 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) )  ->  [_ k  /  x ]_ B  =  A
)
113112sumeq2dv 11411 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A )
114113sumeq2i 11407 . 2  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A
11570adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  k  e.  ZZ )
11680adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  j  e.  ZZ )
117115, 116zsubcld 9411 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  ( k  -  j )  e.  ZZ )
118 fsum0diag2.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  C )
119118adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  /\  x  =  ( k  -  j
) )  ->  B  =  C )
120117, 119csbied 3118 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  C
)
121120sumeq2dv 11411 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
122121sumeq2i 11407 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k )
[_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C
123109, 114, 1223eqtr3g 2245 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   [_csb 3072    C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842    + caddc 7845    - cmin 8159   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   ...cfz 10040   sum_csu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
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