Theorem fisum0diag2 10837

Description: Two ways to express "the sum of A ( j , k ) over the triangular region 0 <_ j, 0 <_ k, j + k <_ N." (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag2.1	|- ( x = k -> B = A )
fsum0diag2.2	|- ( x = ( k - j ) -> B = C )
fsum0diag2.3	|- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
fisum0diag2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fisum0diag2	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Distinct variable groups:   j, k, x, N   ph, j, k   B, k   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( j, k)   B( x, j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisum0diag2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fznn0sub2 9535	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
2	1	ad2antll 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
3		fsum0diag2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
4	3	expr 367	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> A e. CC ) )
5	4	ralrimiv 2445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
6		fsum0diag2.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = A )
7	6	eleq1d 2156	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> A e. CC ) )
8	7	cbvralv 2590	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC <-> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
9	5, 8	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
10	9	adantrr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
11		nfcsb1v 2963	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B
12	11	nfel1 2239	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC
13		csbeq1a 2941	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
14	13	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2716	. . . . . 6 |- ( ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
16	2, 10, 15	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC )
17		fisum0diag2.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	16, 17	fisum0diag 10831	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
19		0zd 8760	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
20	17	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		elfzelz 9438	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
22	21	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
23	20, 22	zsubcld 8871	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - j ) e. ZZ )
24		nfcsb1v 2963	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
25	24	nfel1 2239	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ k / x ]_ B e. CC
26		csbeq1a 2941	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
27	26	eleq1d 2156	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
28	25, 27	rspc 2716	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
29	9, 28	mpan9 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B e. CC )
30		csbeq1 2936	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) -> [_ k / x ]_ B = [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
31	19, 23, 29, 30	fisumrev2 10836	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
32		elfz3nn0 9525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
33	32	ad2antlr 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> N e. NN0 )
34	21	ad2antlr 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> j e. ZZ )
35		nn0cn 8681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
36		zcn 8753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
37		subcl 7679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ j e. CC ) -> ( N - j ) e. CC )
38	35, 36, 37	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( N - j ) e. CC )
39	33, 34, 38	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( N - j ) e. CC )
40	39	addid2d 7630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( 0 + ( N - j ) ) = ( N - j ) )
41	40	oveq1d 5667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) = ( ( N - j ) - n ) )
42	41	csbeq1d 2939	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
43	42	sumeq2dv 10753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
44	31, 43	eqtrd 2120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
45	44	sumeq2dv 10753	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
46		elfz3nn0 9525	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
47	46	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
48		addid2 7619	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( 0 + N ) = N )
49	47, 35, 48	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 + N ) = N )
50	49	oveq1d 5667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 0 + N ) - n ) = ( N - n ) )
51	50	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) = ( 0 ... ( N - n ) ) )
52	50	oveq1d 5667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
53	52	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
54	46	ad2antlr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> N e. NN0 )
55		elfzelz 9438	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
56	55	ad2antlr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> n e. ZZ )
57		elfzelz 9438	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - n ) ) -> j e. ZZ )
58	57	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> j e. ZZ )
59		zcn 8753	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
60		sub32 7714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ n e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
61	35, 59, 36, 60	syl3an 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
62	54, 56, 58, 61	syl3anc 1174	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
63	53, 62	eqtrd 2120	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
64	63	csbeq1d 2939	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
65	51, 64	sumeq12rdv 10758	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
66	65	sumeq2dv 10753	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
67	18, 45, 66	3eqtr4d 2130	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
68		0zd 8760	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
69		0zd 8760	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
70		elfzelz 9438	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
71	70	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
72	69, 71	fzfigd 9834	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
73		elfzuz3 9435	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
74	73	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
75		elfzuz3 9435	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
76	75	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
77	76	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
78		elfzuzb 9432	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( j ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
79	74, 77, 78	sylanbrc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( j ... N ) )
80		elfzelz 9438	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. ZZ )
81	80	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
82	17	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ZZ )
83	70	ad2antlr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
84		fzsubel 9471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
85	81, 82, 83, 81, 84	syl22anc 1175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
86	79, 85	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) )
87		subid 7699	. . . . . . . . 9 |- ( j e. CC -> ( j - j ) = 0 )
88	81, 36, 87	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( j - j ) = 0 )
89	88	oveq1d 5667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) = ( 0 ... ( N - j ) ) )
90	86, 89	eleqtrd 2166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
91		simpll 496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ph )
92		fzss2 9475	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` k ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
93	76, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
94	93	sselda 3025	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
95	91, 94, 9	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
96		nfcsb1v 2963	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( k - j ) / x ]_ B
97	96	nfel1 2239	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC
98		csbeq1a 2941	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k - j ) -> B = [_ ( k - j ) / x ]_ B )
99	98	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( x = ( k - j ) -> ( B e. CC <-> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
100	97, 99	rspc 2716	. . . . . 6 |- ( ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
101	90, 95, 100	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
102	72, 101	fsumcl 10790	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
103		oveq2 5660	. . . . 5 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) )
104		oveq1 5659	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( k - j ) = ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) )
105	104	csbeq1d 2939	. . . . . 6 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
106	105	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( k = ( ( 0 + N ) - n ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
107	103, 106	sumeq12dv 10757	. . . 4 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
108	68, 17, 102, 107	fisumrev2 10836	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
109	67, 108	eqtr4d 2123	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B )
110		vex 2622	. . . . . 6 |- k e. _V
111	110, 6	csbie 2973	. . . . 5 |- [_ k / x ]_ B = A
112	111	a1i 9	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B = A )
113	112	sumeq2dv 10753	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A )
114	113	sumeq2i 10749	. 2 |- sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A
115	70	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
116	80	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
117	115, 116	zsubcld 8871	. . . . 5 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ZZ )
118		fsum0diag2.2	. . . . . 6 |- ( x = ( k - j ) -> B = C )
119	118	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) /\ x = ( k - j ) ) -> B = C )
120	117, 119	csbied 2974	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = C )
121	120	sumeq2dv 10753	. . 3 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... k ) C )
122	121	sumeq2i 10749	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C
123	109, 114, 122	3eqtr3g 2143	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   [_csb 2933   C_ wss 2999   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348   + caddc 7351   - cmin 7651   NN0cn0 8671   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422   sum_csu 10738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-disj 3823  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739

This theorem is referenced by:  mertensabs  10927