Theorem pcbc 12789

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   P, k   k, N   k, K

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1002	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
2		nnnn0 9337	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. NN0 )
4	3	faccld 10918	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. NN )
5	4	nnzd 9529	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
6	4	nnne0d 9116	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
7		fznn0sub 10214	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8	7	3ad2ant2 1022	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9	8	faccld 10918	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
10		elfznn0 10271	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
11	10	3ad2ant2 1022	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. NN0 )
12	11	faccld 10918	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. NN )
13	9, 12	nnmulcld 9120	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
14		pcdiv 12740	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ ( ! ` N ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
15	1, 5, 6, 13, 14	syl121anc 1255	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
16		bcval2 10932	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
17	16	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
18	17	oveq2d 5983	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
19		1zzd 9434	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20	3	nn0zd 9528	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	fzfigd 10613	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
22	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ZZ )
23		simpl3 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. Prime )
24		prmnn 12547	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. NN )
26		elfznn 10211	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
27	26	nnnn0d 9383	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
28	27	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
29	25, 28	nnexpcld 10877	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
30		znq 9780	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
32	31	flqcld 10457	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
33	32	zcnd 9531	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
34		simpl2 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
35	10	nn0zd 9528	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
37	22, 36	zsubcld 9535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
38		znq 9780	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
39	37, 29, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
40	39	flqcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9531	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
42		znq 9780	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
43	36, 29, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
44	43	flqcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
45	44	zcnd 9531	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
46	41, 45	addcld 8127	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) e. CC )
47	21, 33, 46	fsumsub 11878	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
48		uzid 9697	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
49	20, 48	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
50		pcfac 12788	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
51	3, 49, 1, 50	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
52	11	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 0 <_ K )
53		nnre 9078	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
54	53	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. RR )
55	11	nn0red 9384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. RR )
56	54, 55	subge02d 8645	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) <_ N )
58	11	nn0zd 9528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. ZZ )
59	20, 58	zsubcld 9535	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. ZZ )
60		eluz 9696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
61	59, 20, 60	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) )
63		pcfac 12788	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
64	8, 62, 1, 63	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
65		elfzuz3 10179	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
66	65	3ad2ant2 1022	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
67		pcfac 12788	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
68	11, 66, 1, 67	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
69	64, 68	oveq12d 5985	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
70	9	nnzd 9529	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ )
71	9	nnne0d 9116	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
72	12	nnzd 9529	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. ZZ )
73	12	nnne0d 9116	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
74		pcmul 12739	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ ( ! ` K ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
75	1, 70, 71, 72, 73, 74	syl122anc 1259	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
76	21, 41, 45	fsumadd 11832	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
77	69, 75, 76	3eqtr4d 2250	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
78	51, 77	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
79	47, 78	eqtr4d 2243	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
80	15, 18, 79	3eqtr4d 2250	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   <_ cle 8143   - cmin 8278   / cdiv 8780   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   QQcq 9775   ...cfz 10165   |_cfl 10448   ^cexp 10720   !cfa 10907   _C cbc 10929   sum_csu 11779   Primecprime 12544   pCnt cpc 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-bc 10930  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-dvds 12214  df-gcd 12390  df-prm 12545  df-pc 12723

This theorem is referenced by: (None)