Theorem pcbc 12349

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   P, k   k, N   k, K

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 999	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
2		nnnn0 9183	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. NN0 )
4	3	faccld 10716	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. NN )
5	4	nnzd 9374	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
6	4	nnne0d 8964	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
7		fznn0sub 10057	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8	7	3ad2ant2 1019	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9	8	faccld 10716	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
10		elfznn0 10114	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
11	10	3ad2ant2 1019	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. NN0 )
12	11	faccld 10716	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. NN )
13	9, 12	nnmulcld 8968	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
14		pcdiv 12302	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ ( ! ` N ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
15	1, 5, 6, 13, 14	syl121anc 1243	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
16		bcval2 10730	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
17	16	3ad2ant2 1019	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
18	17	oveq2d 5891	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
19		1zzd 9280	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20	3	nn0zd 9373	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	fzfigd 10431	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
22	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ZZ )
23		simpl3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. Prime )
24		prmnn 12110	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. NN )
26		elfznn 10054	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
27	26	nnnn0d 9229	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
28	27	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
29	25, 28	nnexpcld 10676	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
30		znq 9624	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
32	31	flqcld 10277	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
33	32	zcnd 9376	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
34		simpl2 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
35	10	nn0zd 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
37	22, 36	zsubcld 9380	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
38		znq 9624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
39	37, 29, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
40	39	flqcld 10277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9376	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
42		znq 9624	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
43	36, 29, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
44	43	flqcld 10277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
45	44	zcnd 9376	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
46	41, 45	addcld 7977	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) e. CC )
47	21, 33, 46	fsumsub 11460	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
48		uzid 9542	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
49	20, 48	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
50		pcfac 12348	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
51	3, 49, 1, 50	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
52	11	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 0 <_ K )
53		nnre 8926	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
54	53	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. RR )
55	11	nn0red 9230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. RR )
56	54, 55	subge02d 8494	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) <_ N )
58	11	nn0zd 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. ZZ )
59	20, 58	zsubcld 9380	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. ZZ )
60		eluz 9541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
61	59, 20, 60	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) )
63		pcfac 12348	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
64	8, 62, 1, 63	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
65		elfzuz3 10022	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
66	65	3ad2ant2 1019	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
67		pcfac 12348	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
68	11, 66, 1, 67	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
69	64, 68	oveq12d 5893	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
70	9	nnzd 9374	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ )
71	9	nnne0d 8964	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
72	12	nnzd 9374	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. ZZ )
73	12	nnne0d 8964	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
74		pcmul 12301	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ ( ! ` K ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
75	1, 70, 71, 72, 73, 74	syl122anc 1247	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
76	21, 41, 45	fsumadd 11414	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
77	69, 75, 76	3eqtr4d 2220	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
78	51, 77	oveq12d 5893	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
79	47, 78	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
80	15, 18, 79	3eqtr4d 2220	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   <_ cle 7993   - cmin 8128   / cdiv 8629   NNcn 8919   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   QQcq 9619   ...cfz 10008   |_cfl 10268   ^cexp 10519   !cfa 10705   _C cbc 10727   sum_csu 11361   Primecprime 12107   pCnt cpc 12284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-pc 12285

This theorem is referenced by: (None)