Theorem pcbc 12520

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   P, k   k, N   k, K

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
2		nnnn0 9256	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. NN0 )
4	3	faccld 10828	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. NN )
5	4	nnzd 9447	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
6	4	nnne0d 9035	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
7		fznn0sub 10132	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8	7	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9	8	faccld 10828	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
10		elfznn0 10189	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
11	10	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. NN0 )
12	11	faccld 10828	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. NN )
13	9, 12	nnmulcld 9039	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
14		pcdiv 12471	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ ( ! ` N ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
15	1, 5, 6, 13, 14	syl121anc 1254	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
16		bcval2 10842	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
17	16	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
18	17	oveq2d 5938	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
19		1zzd 9353	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20	3	nn0zd 9446	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	fzfigd 10523	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
22	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ZZ )
23		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. Prime )
24		prmnn 12278	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. NN )
26		elfznn 10129	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
27	26	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
28	27	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
29	25, 28	nnexpcld 10787	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
30		znq 9698	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
32	31	flqcld 10367	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
33	32	zcnd 9449	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
34		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
35	10	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
37	22, 36	zsubcld 9453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
38		znq 9698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
39	37, 29, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
40	39	flqcld 10367	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9449	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
42		znq 9698	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
43	36, 29, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
44	43	flqcld 10367	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
45	44	zcnd 9449	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
46	41, 45	addcld 8046	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) e. CC )
47	21, 33, 46	fsumsub 11617	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
48		uzid 9615	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
49	20, 48	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
50		pcfac 12519	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
51	3, 49, 1, 50	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
52	11	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 0 <_ K )
53		nnre 8997	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
54	53	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. RR )
55	11	nn0red 9303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. RR )
56	54, 55	subge02d 8564	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) <_ N )
58	11	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. ZZ )
59	20, 58	zsubcld 9453	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. ZZ )
60		eluz 9614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
61	59, 20, 60	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) )
63		pcfac 12519	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
64	8, 62, 1, 63	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
65		elfzuz3 10097	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
66	65	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
67		pcfac 12519	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
68	11, 66, 1, 67	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
69	64, 68	oveq12d 5940	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
70	9	nnzd 9447	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ )
71	9	nnne0d 9035	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
72	12	nnzd 9447	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. ZZ )
73	12	nnne0d 9035	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
74		pcmul 12470	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ ( ! ` K ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
75	1, 70, 71, 72, 73, 74	syl122anc 1258	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
76	21, 41, 45	fsumadd 11571	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
77	69, 75, 76	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
78	51, 77	oveq12d 5940	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
79	47, 78	eqtr4d 2232	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
80	15, 18, 79	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   QQcq 9693   ...cfz 10083   |_cfl 10358   ^cexp 10630   !cfa 10817   _C cbc 10839   sum_csu 11518   Primecprime 12275   pCnt cpc 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-pc 12454

This theorem is referenced by: (None)