Theorem pcbc 12303

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   P, k   k, N   k, K

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 994	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
2		nnnn0 9142	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1013	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. NN0 )
4	3	faccld 10670	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. NN )
5	4	nnzd 9333	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
6	4	nnne0d 8923	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
7		fznn0sub 10013	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8	7	3ad2ant2 1014	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9	8	faccld 10670	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
10		elfznn0 10070	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
11	10	3ad2ant2 1014	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. NN0 )
12	11	faccld 10670	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. NN )
13	9, 12	nnmulcld 8927	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
14		pcdiv 12256	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ ( ! ` N ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
15	1, 5, 6, 13, 14	syl121anc 1238	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
16		bcval2 10684	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
17	16	3ad2ant2 1014	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
18	17	oveq2d 5869	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
19		1zzd 9239	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20	3	nn0zd 9332	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	fzfigd 10387	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
22	20	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ZZ )
23		simpl3 997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. Prime )
24		prmnn 12064	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. NN )
26		elfznn 10010	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
27	26	nnnn0d 9188	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
28	27	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
29	25, 28	nnexpcld 10631	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
30		znq 9583	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
31	22, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
32	31	flqcld 10233	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
33	32	zcnd 9335	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
34		simpl2 996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
35	10	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
37	22, 36	zsubcld 9339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
38		znq 9583	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
39	37, 29, 38	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
40	39	flqcld 10233	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9335	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
42		znq 9583	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
43	36, 29, 42	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
44	43	flqcld 10233	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
45	44	zcnd 9335	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
46	41, 45	addcld 7939	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) e. CC )
47	21, 33, 46	fsumsub 11415	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
48		uzid 9501	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
49	20, 48	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
50		pcfac 12302	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
51	3, 49, 1, 50	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
52	11	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 0 <_ K )
53		nnre 8885	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
54	53	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. RR )
55	11	nn0red 9189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. RR )
56	54, 55	subge02d 8456	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
57	52, 56	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) <_ N )
58	11	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. ZZ )
59	20, 58	zsubcld 9339	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. ZZ )
60		eluz 9500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
61	59, 20, 60	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
62	57, 61	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) )
63		pcfac 12302	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
64	8, 62, 1, 63	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
65		elfzuz3 9978	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
66	65	3ad2ant2 1014	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
67		pcfac 12302	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
68	11, 66, 1, 67	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
69	64, 68	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
70	9	nnzd 9333	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ )
71	9	nnne0d 8923	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
72	12	nnzd 9333	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. ZZ )
73	12	nnne0d 8923	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
74		pcmul 12255	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ ( ! ` K ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
75	1, 70, 71, 72, 73, 74	syl122anc 1242	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
76	21, 41, 45	fsumadd 11369	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
77	69, 75, 76	3eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
78	51, 77	oveq12d 5871	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
79	47, 78	eqtr4d 2206	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
80	15, 18, 79	3eqtr4d 2213	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   QQcq 9578   ...cfz 9965   |_cfl 10224   ^cexp 10475   !cfa 10659   _C cbc 10681   sum_csu 11316   Primecprime 12061   pCnt cpc 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-pc 12239

This theorem is referenced by: (None)