Theorem pcbc 13108

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   P, k   k, N   k, K

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
2		nnnn0 9549	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1049	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. NN0 )
4	3	faccld 11152	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. NN )
5	4	nnzd 9746	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
6	4	nnne0d 9328	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
7		fznn0sub 10441	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8	7	3ad2ant2 1050	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9	8	faccld 11152	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
10		elfznn0 10499	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
11	10	3ad2ant2 1050	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. NN0 )
12	11	faccld 11152	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. NN )
13	9, 12	nnmulcld 9332	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
14		pcdiv 13059	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ ( ! ` N ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
15	1, 5, 6, 13, 14	syl121anc 1283	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
16		bcval2 11166	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
17	16	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
18	17	oveq2d 6091	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = ( P pCnt ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
19		1zzd 9650	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20	3	nn0zd 9745	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	fzfigd 10846	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
22	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ZZ )
23		simpl3 1033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. Prime )
24		prmnn 12866	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> P e. NN )
26		elfznn 10438	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
27	26	nnnn0d 9599	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
28	27	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
29	25, 28	nnexpcld 11111	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
30		znq 10003	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
31	22, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
32	31	flqcld 10690	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
33	32	zcnd 9748	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
34		simpl2 1032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
35	10	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
37	22, 36	zsubcld 9752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
38		znq 10003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
39	37, 29, 38	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
40	39	flqcld 10690	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9748	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
42		znq 10003	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
43	36, 29, 42	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( K / ( P ^ k ) ) e. QQ )
44	43	flqcld 10690	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. ZZ )
45	44	zcnd 9748	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) e. CC )
46	41, 45	addcld 8335	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) e. CC )
47	21, 33, 46	fsumsub 12197	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
48		uzid 9915	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
49	20, 48	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
50		pcfac 13107	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
51	3, 49, 1, 50	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) )
52	11	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> 0 <_ K )
53		nnre 9290	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
54	53	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. RR )
55	11	nn0red 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. RR )
56	54, 55	subge02d 8855	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( 0 <_ K <-> ( N - K ) <_ N ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) <_ N )
58	11	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> K e. ZZ )
59	20, 58	zsubcld 9752	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N - K ) e. ZZ )
60		eluz 9914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
61	59, 20, 60	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) )
63		pcfac 13107	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - K ) ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
64	8, 62, 1, 63	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) )
65		elfzuz3 10404	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
66	65	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
67		pcfac 13107	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
68	11, 66, 1, 67	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ! ` K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) )
69	64, 68	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
70	9	nnzd 9746	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ )
71	9	nnne0d 9328	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
72	12	nnzd 9746	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) e. ZZ )
73	12	nnne0d 9328	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
74		pcmul 13058	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 ) /\ ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ ( ! ` K ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
75	1, 70, 71, 72, 73, 74	syl122anc 1287	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` ( N - K ) ) ) + ( P pCnt ( ! ` K ) ) ) )
76	21, 41, 45	fsumadd 12151	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
77	69, 75, 76	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) )
78	51, 77	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
79	47, 78	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( ! ` N ) ) - ( P pCnt ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
80	15, 18, 79	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( N _C K ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) - ( ( |_ ` ( ( N - K ) / ( P ^ k ) ) ) + ( |_ ` ( K / ( P ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   QQcq 9998   ...cfz 10390   |_cfl 10681   ^cexp 10953   !cfa 11141   _C cbc 11163   sum_csu 12097   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-pc 13042

This theorem is referenced by: (None)