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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seq3id2 | Unicode version |
Description: The last few partial sums
of a sequence that ends with all zeroes (or
any element which is a right-identity for ![]() |
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seqid2.1 |
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seqid2.2 |
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seqid2.3 |
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seqid2.4 |
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seqid2.5 |
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seq3id2.f |
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seq3id2.cl |
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Ref | Expression |
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seq3id2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | seqid2.3 |
. . 3
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2 | eluzfz2 9843 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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5 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | eqeq2d 2152 |
. . . . . 6
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7 | 4, 6 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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8 | 7 | imbi2d 229 |
. . . 4
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9 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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10 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | eqeq2d 2152 |
. . . . . 6
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12 | 9, 11 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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13 | 12 | imbi2d 229 |
. . . 4
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14 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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15 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | eqeq2d 2152 |
. . . . . 6
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17 | 14, 16 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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18 | 17 | imbi2d 229 |
. . . 4
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19 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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20 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | eqeq2d 2152 |
. . . . . 6
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22 | 19, 21 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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23 | 22 | imbi2d 229 |
. . . 4
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24 | eqidd 2141 |
. . . . 5
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25 | 24 | 2a1i 27 |
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26 | peano2fzr 9848 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | expr 373 |
. . . . . 6
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29 | 28 | imim1d 75 |
. . . . 5
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30 | oveq1 5789 |
. . . . . 6
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31 | fveqeq2 5438 |
. . . . . . . . . 10
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32 | seqid2.5 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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35 | eluzp1p1 9375 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | elfzuz3 9834 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | ad2antll 483 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | elfzuzb 9831 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 36, 38, 39 | sylanbrc 414 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 31, 34, 40 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . 8
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43 | oveq1 5789 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | id 19 |
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45 | 43, 44 | eqeq12d 2155 |
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46 | seqid2.1 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 46 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . . 10
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48 | seqid2.4 |
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49 | 45, 47, 48 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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51 | 42, 50 | eqtr2d 2174 |
. . . . . . 7
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52 | simprl 521 |
. . . . . . . . 9
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53 | seqid2.2 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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55 | uztrn 9366 |
. . . . . . . . 9
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56 | 52, 54, 55 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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57 | seq3id2.f |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
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59 | seq3id2.cl |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
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61 | 56, 58, 60 | seq3p1 10266 |
. . . . . . 7
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62 | 51, 61 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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63 | 30, 62 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
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64 | 29, 63 | animpimp2impd 549 |
. . . 4
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65 | 8, 13, 18, 23, 25, 64 | uzind4 9410 |
. . 3
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66 | 1, 65 | mpcom 36 |
. 2
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67 | 3, 66 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-fz 9822 df-seqfrec 10250 |
This theorem is referenced by: seq3coll 10617 fsum3cvg 11179 fproddccvg 11373 |
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