Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3id2 Unicode version

Theorem seq3id2 10233
 Description: The last few partial sums of a sequence that ends with all zeroes (or any element which is a right-identity for ) are all the same. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid2.1
seqid2.2
seqid2.3
seqid2.4
seqid2.5
seq3id2.f
seq3id2.cl
Assertion
Ref Expression
seq3id2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem seq3id2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid2.3 . . 3
2 eluzfz2 9763 . . 3
31, 2syl 14 . 2
4 eleq1 2178 . . . . . 6
5 fveq2 5387 . . . . . . 7
65eqeq2d 2127 . . . . . 6
74, 6imbi12d 233 . . . . 5
87imbi2d 229 . . . 4
9 eleq1 2178 . . . . . 6
10 fveq2 5387 . . . . . . 7
1110eqeq2d 2127 . . . . . 6
129, 11imbi12d 233 . . . . 5
1312imbi2d 229 . . . 4
14 eleq1 2178 . . . . . 6
15 fveq2 5387 . . . . . . 7
1615eqeq2d 2127 . . . . . 6
1714, 16imbi12d 233 . . . . 5
1817imbi2d 229 . . . 4
19 eleq1 2178 . . . . . 6
20 fveq2 5387 . . . . . . 7
2120eqeq2d 2127 . . . . . 6
2219, 21imbi12d 233 . . . . 5
2322imbi2d 229 . . . 4
24 eqidd 2116 . . . . 5
25242a1i 27 . . . 4
26 peano2fzr 9768 . . . . . . . 8
2726adantl 273 . . . . . . 7
2827expr 370 . . . . . 6
2928imim1d 75 . . . . 5
30 oveq1 5747 . . . . . 6
31 fveqeq2 5396 . . . . . . . . . 10
32 seqid2.5 . . . . . . . . . . . 12
3332ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . 11
3433adantr 272 . . . . . . . . . 10
35 eluzp1p1 9303 . . . . . . . . . . . 12
3635ad2antrl 479 . . . . . . . . . . 11
37 elfzuz3 9754 . . . . . . . . . . . 12
3837ad2antll 480 . . . . . . . . . . 11
39 elfzuzb 9751 . . . . . . . . . . 11
4036, 38, 39sylanbrc 411 . . . . . . . . . 10
4131, 34, 40rspcdva 2766 . . . . . . . . 9
4241oveq2d 5756 . . . . . . . 8
43 oveq1 5747 . . . . . . . . . . 11
44 id 19 . . . . . . . . . . 11
4543, 44eqeq12d 2130 . . . . . . . . . 10
46 seqid2.1 . . . . . . . . . . 11
4746ralrimiva 2480 . . . . . . . . . 10
48 seqid2.4 . . . . . . . . . 10
4945, 47, 48rspcdva 2766 . . . . . . . . 9
5049adantr 272 . . . . . . . 8
5142, 50eqtr2d 2149 . . . . . . 7
52 simprl 503 . . . . . . . . 9
53 seqid2.2 . . . . . . . . . 10
5453adantr 272 . . . . . . . . 9
55 uztrn 9294 . . . . . . . . 9
5652, 54, 55syl2anc 406 . . . . . . . 8
57 seq3id2.f . . . . . . . . 9
5857adantlr 466 . . . . . . . 8
59 seq3id2.cl . . . . . . . . 9
6059adantlr 466 . . . . . . . 8
6156, 58, 60seq3p1 10186 . . . . . . 7
6251, 61eqeq12d 2130 . . . . . 6
6330, 62syl5ibr 155 . . . . 5
6429, 63animpimp2impd 531 . . . 4
658, 13, 18, 23, 25, 64uzind4 9335 . . 3
661, 65mpcom 36 . 2
673, 66mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1314   wcel 1463  wral 2391  cfv 5091  (class class class)co 5740  c1 7585   caddc 7587  cz 9008  cuz 9278  cfz 9741   cseq 10169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742  df-seqfrec 10170 This theorem is referenced by:  seq3coll  10536  fsum3cvg  11097
 Copyright terms: Public domain W3C validator