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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seq3id2 | Unicode version |
Description: The last few partial sums
of a sequence that ends with all zeroes (or
any element which is a right-identity for ![]() |
Ref | Expression |
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seqid2.1 |
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seqid2.2 |
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seqid2.3 |
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seqid2.4 |
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seqid2.5 |
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seq3id2.f |
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seq3id2.cl |
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Ref | Expression |
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seq3id2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | seqid2.3 |
. . 3
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2 | eluzfz2 10084 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | eleq1 2252 |
. . . . . 6
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5 | fveq2 5542 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | eqeq2d 2201 |
. . . . . 6
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7 | 4, 6 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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8 | 7 | imbi2d 230 |
. . . 4
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9 | eleq1 2252 |
. . . . . 6
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10 | fveq2 5542 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | eqeq2d 2201 |
. . . . . 6
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12 | 9, 11 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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13 | 12 | imbi2d 230 |
. . . 4
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14 | eleq1 2252 |
. . . . . 6
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15 | fveq2 5542 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | eqeq2d 2201 |
. . . . . 6
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17 | 14, 16 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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18 | 17 | imbi2d 230 |
. . . 4
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19 | eleq1 2252 |
. . . . . 6
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20 | fveq2 5542 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | eqeq2d 2201 |
. . . . . 6
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22 | 19, 21 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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23 | 22 | imbi2d 230 |
. . . 4
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24 | eqidd 2190 |
. . . . 5
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25 | 24 | 2a1i 27 |
. . . 4
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26 | peano2fzr 10089 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | expr 375 |
. . . . . 6
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29 | 28 | imim1d 75 |
. . . . 5
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30 | oveq1 5913 |
. . . . . 6
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31 | fveqeq2 5551 |
. . . . . . . . . 10
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32 | seqid2.5 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ralrimiva 2563 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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35 | eluzp1p1 9604 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | elfzuz3 10074 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | elfzuzb 10071 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 36, 38, 39 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 31, 34, 40 | rspcdva 2865 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | oveq2d 5922 |
. . . . . . . 8
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43 | oveq1 5913 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | id 19 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 43, 44 | eqeq12d 2204 |
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46 | seqid2.1 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 46 | ralrimiva 2563 |
. . . . . . . . . 10
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48 | seqid2.4 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 45, 47, 48 | rspcdva 2865 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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51 | 42, 50 | eqtr2d 2223 |
. . . . . . 7
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52 | simprl 529 |
. . . . . . . . 9
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53 | seqid2.2 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 53 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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55 | uztrn 9595 |
. . . . . . . . 9
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56 | 52, 54, 55 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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57 | seq3id2.f |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | adantlr 477 |
. . . . . . . 8
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59 | seq3id2.cl |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantlr 477 |
. . . . . . . 8
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61 | 56, 58, 60 | seq3p1 10522 |
. . . . . . 7
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62 | 51, 61 | eqeq12d 2204 |
. . . . . 6
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63 | 30, 62 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
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64 | 29, 63 | animpimp2impd 559 |
. . . 4
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65 | 8, 13, 18, 23, 25, 64 | uzind4 9639 |
. . 3
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66 | 1, 65 | mpcom 36 |
. 2
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67 | 3, 66 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4140 ax-sep 4143 ax-nul 4151 ax-pow 4199 ax-pr 4234 ax-un 4458 ax-setind 4561 ax-iinf 4612 ax-cnex 7949 ax-resscn 7950 ax-1cn 7951 ax-1re 7952 ax-icn 7953 ax-addcl 7954 ax-addrcl 7955 ax-mulcl 7956 ax-addcom 7958 ax-addass 7960 ax-distr 7962 ax-i2m1 7963 ax-0lt1 7964 ax-0id 7966 ax-rnegex 7967 ax-cnre 7969 ax-pre-ltirr 7970 ax-pre-ltwlin 7971 ax-pre-lttrn 7972 ax-pre-ltadd 7974 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2758 df-sbc 2982 df-csb 3077 df-dif 3151 df-un 3153 df-in 3155 df-ss 3162 df-nul 3443 df-pw 3599 df-sn 3620 df-pr 3621 df-op 3623 df-uni 3832 df-int 3867 df-iun 3910 df-br 4026 df-opab 4087 df-mpt 4088 df-tr 4124 df-id 4318 df-iord 4391 df-on 4393 df-ilim 4394 df-suc 4396 df-iom 4615 df-xp 4657 df-rel 4658 df-cnv 4659 df-co 4660 df-dm 4661 df-rn 4662 df-res 4663 df-ima 4664 df-iota 5203 df-fun 5244 df-fn 5245 df-f 5246 df-f1 5247 df-fo 5248 df-f1o 5249 df-fv 5250 df-riota 5861 df-ov 5909 df-oprab 5910 df-mpo 5911 df-1st 6180 df-2nd 6181 df-recs 6345 df-frec 6431 df-pnf 8042 df-mnf 8043 df-xr 8044 df-ltxr 8045 df-le 8046 df-sub 8178 df-neg 8179 df-inn 8969 df-n0 9227 df-z 9304 df-uz 9579 df-fz 10061 df-seqfrec 10505 |
This theorem is referenced by: seq3coll 10887 fsum3cvg 11495 fproddccvg 11689 lgsdilem2 15080 |
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