Theorem monoord 10900

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord	|- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10415	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
6	5	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) ) )
9		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
10		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
11	10	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) )
12	9, 11	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) ) )
14		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
15		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
16	15	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
19		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
20		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( F ` x ) = ( F ` N ) )
21	20	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) )
22	19, 21	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) ) )
24		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
25	24	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
26		monoord.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
27	26	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
28		eluzfz1 10414	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
30	25, 27, 29	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
31	30	leidd 8832	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) )
33	32	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) )
34		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
35		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
36		peano2fzr 10420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
38	37	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
39	38	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) )
40		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
41		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
42	41	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
43	40, 42	breq12d 4138	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
44		monoord.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
45	44	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
47		eluzelz 9910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
48	34, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
49		elfzuz3 10404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
50	35, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
51		eluzp1m1 9925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
53		elfzuzb 10401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
54	34, 52, 53	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
55	43, 46, 54	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
56	30	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` M ) e. RR )
57	40	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
59	57, 58, 37	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
60		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
61	60	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
62	61, 58, 35	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
63		letr 8398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` n ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	56, 59, 62, 63	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65	55, 64	mpan2d 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
66	65	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
67	66	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
68	39, 67	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
69	68	expcom 116	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
70	69	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
71	8, 13, 18, 23, 33, 70	uzind4 9967	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) )
72	1, 71	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) )
73	3, 72	mpd 13	1 |- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  monoord2  10901  ser3mono  10902  climub  12088