Theorem fzsplit 10385

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10355	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9915	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4		elfzuz3 10356	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
5		fzsplit2 10384	. 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1c1 8128   + caddc 8130   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  fzsuc  10403  fz01or  10445  fz0to3un2pr  10457  fsum1p  12104  mertenslemi1  12221  fprod1p  12285  fprodeq0  12303  4sqlem19  13107  gausslemma2dlem4  15937  lgsquadlem2  15951  cvgcmp2nlemabs  16816