Theorem fzsplit 10123

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10093	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9654	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4		elfzuz3 10094	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
5		fzsplit2 10122	. 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7878   + caddc 7880   ZZ>=cuz 9598   ...cfz 10080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081

This theorem is referenced by:  fzsuc  10141  fz01or  10183  fz0to3un2pr  10195  fsum1p  11567  mertenslemi1  11684  fprod1p  11748  fprodeq0  11766  4sqlem19  12554  gausslemma2dlem4  15272  lgsquadlem2  15286  cvgcmp2nlemabs  15643