Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3z Unicode version

Theorem seq3z 10296
 Description: If the operation has an absorbing element (a.k.a. zero element), then any sequence containing a evaluates to . (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3homo.1
seq3homo.2
seqz.3
seqz.4
seqz.5
seqz.7
Assertion
Ref Expression
seq3z
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,

Proof of Theorem seq3z
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqz.5 . . 3
2 elfzuz3 9815 . . 3
31, 2syl 14 . 2
4 fveqeq2 5430 . . . 4
54imbi2d 229 . . 3
6 fveqeq2 5430 . . . 4
76imbi2d 229 . . 3
8 fveqeq2 5430 . . . 4
98imbi2d 229 . . 3
10 fveqeq2 5430 . . . 4
1110imbi2d 229 . . 3
12 elfzuz 9814 . . . . . . . . . 10
131, 12syl 14 . . . . . . . . 9
14 eluzelz 9347 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 14 . . . . . . . 8
16 simpr 109 . . . . . . . . . 10
1713adantr 274 . . . . . . . . . 10
18 uztrn 9354 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18syl2anc 408 . . . . . . . . 9
20 seq3homo.2 . . . . . . . . 9
2119, 20syldan 280 . . . . . . . 8
22 seq3homo.1 . . . . . . . 8
2315, 21, 22seq3-1 10245 . . . . . . 7
24 seqz.7 . . . . . . 7
2523, 24eqtrd 2172 . . . . . 6
26 seqeq1 10233 . . . . . . . 8
2726fveq1d 5423 . . . . . . 7
2827eqeq1d 2148 . . . . . 6
2925, 28syl5ibcom 154 . . . . 5
30 eluzel2 9343 . . . . . . . . . 10
3113, 30syl 14 . . . . . . . . 9
3231adantr 274 . . . . . . . 8
33 simpr 109 . . . . . . . 8
3420adantlr 468 . . . . . . . 8
3522adantlr 468 . . . . . . . 8
3632, 33, 34, 35seq3m1 10253 . . . . . . 7
3724adantr 274 . . . . . . . 8
3837oveq2d 5790 . . . . . . 7
39 oveq1 5781 . . . . . . . . 9
4039eqeq1d 2148 . . . . . . . 8
41 seqz.4 . . . . . . . . . 10
4241ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9
4342adantr 274 . . . . . . . 8
44 eqid 2139 . . . . . . . . . 10
4544, 32, 34, 35seqf 10246 . . . . . . . . 9
46 eluzp1m1 9361 . . . . . . . . . 10
4731, 46sylan 281 . . . . . . . . 9
4845, 47ffvelrnd 5556 . . . . . . . 8
4940, 43, 48rspcdva 2794 . . . . . . 7
5036, 38, 493eqtrd 2176 . . . . . 6
5150ex 114 . . . . 5
52 uzp1 9371 . . . . . 6
5313, 52syl 14 . . . . 5
5429, 51, 53mpjaod 707 . . . 4
5554a1i 9 . . 3
56 simpr 109 . . . . . . . . . 10
5713adantr 274 . . . . . . . . . 10
58 uztrn 9354 . . . . . . . . . 10
5956, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . 9
6020adantlr 468 . . . . . . . . 9
6122adantlr 468 . . . . . . . . 9
6259, 60, 61seq3p1 10247 . . . . . . . 8
6362adantr 274 . . . . . . 7
64 simpr 109 . . . . . . . 8
6564oveq1d 5789 . . . . . . 7
66 oveq2 5782 . . . . . . . . . 10
6766eqeq1d 2148 . . . . . . . . 9
68 seqz.3 . . . . . . . . . . 11
6968ralrimiva 2505 . . . . . . . . . 10
7069adantr 274 . . . . . . . . 9
71 fveq2 5421 . . . . . . . . . . 11
7271eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10
7320ralrimiva 2505 . . . . . . . . . . 11
7473adantr 274 . . . . . . . . . 10
75 peano2uz 9390 . . . . . . . . . . 11
7659, 75syl 14 . . . . . . . . . 10
7772, 74, 76rspcdva 2794 . . . . . . . . 9
7867, 70, 77rspcdva 2794 . . . . . . . 8
7978adantr 274 . . . . . . 7
8063, 65, 793eqtrd 2176 . . . . . 6
8180ex 114 . . . . 5
8281expcom 115 . . . 4
8382a2d 26 . . 3
845, 7, 9, 11, 55, 83uzind4 9395 . 2
853, 84mpcom 36 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 697   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  cfv 5123  (class class class)co 5774  c1 7633   caddc 7635   cmin 7945  cz 9066  cuz 9338  cfz 9802   cseq 10230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-seqfrec 10231 This theorem is referenced by:  bcval5  10521
 Copyright terms: Public domain W3C validator