Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  findcard Unicode version

Theorem findcard 6782
 Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on the given set with any one element removed. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard.1
findcard.2
findcard.3
findcard.4
findcard.5
findcard.6
Assertion
Ref Expression
findcard
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem findcard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard.4 . 2
2 isfi 6655 . . 3
3 breq2 3933 . . . . . . . 8
43imbi1d 230 . . . . . . 7
54albidv 1796 . . . . . 6
6 breq2 3933 . . . . . . . 8
76imbi1d 230 . . . . . . 7
87albidv 1796 . . . . . 6
9 breq2 3933 . . . . . . . 8
109imbi1d 230 . . . . . . 7
1110albidv 1796 . . . . . 6
12 en0 6689 . . . . . . . 8
13 findcard.5 . . . . . . . . 9
14 findcard.1 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 167 . . . . . . . 8
1612, 15sylbi 120 . . . . . . 7
1716ax-gen 1425 . . . . . 6
18 peano2 4509 . . . . . . . . . . . . 13
19 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14
2019rspcev 2789 . . . . . . . . . . . . 13
2118, 20sylan 281 . . . . . . . . . . . 12
22 isfi 6655 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22sylibr 133 . . . . . . . . . . 11
24233adant2 1000 . . . . . . . . . 10
25 dif1en 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26253expa 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 difexg 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 findcard.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3230, 31imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3329, 32spcv 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15
3426, 33syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . 14
3534ralrimdva 2512 . . . . . . . . . . . . 13
3635imp 123 . . . . . . . . . . . 12
3736an32s 557 . . . . . . . . . . 11
38373impa 1176 . . . . . . . . . 10
39 findcard.6 . . . . . . . . . 10
4024, 38, 39sylc 62 . . . . . . . . 9
41403exp 1180 . . . . . . . 8
4241alrimdv 1848 . . . . . . 7
43 breq1 3932 . . . . . . . . 9
44 findcard.3 . . . . . . . . 9
4543, 44imbi12d 233 . . . . . . . 8
4645cbvalv 1889 . . . . . . 7
4742, 46syl6ibr 161 . . . . . 6
485, 8, 11, 17, 47finds1 4516 . . . . 5
494819.21bi 1537 . . . 4
5049rexlimiv 2543 . . 3
512, 50sylbi 120 . 2
521, 51vtoclga 2752 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962  wal 1329   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  cvv 2686   cdif 3068  c0 3363  csn 3527   class class class wbr 3929   csuc 4287  com 4504   cen 6632  cfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637 This theorem is referenced by:  xpfi  6818
 Copyright terms: Public domain W3C validator