ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en0 GIF version

Theorem en0 6822
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6774 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅)
2 f1ocnv 5493 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝑓:∅–1-1-onto𝐴)
3 f1o00 5515 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
43simprbi 275 . . . . 5 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴𝐴 = ∅)
52, 4syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
65exlimiv 1609 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
71, 6sylbi 121 . 2 (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0ex 4145 . . . 4 ∅ ∈ V
98enref 6792 . . 3 ∅ ≈ ∅
10 breq1 4021 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
119, 10mpbiri 168 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
127, 11impbii 126 1 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1364  wex 1503  c0 3437   class class class wbr 4018  ccnv 4643  1-1-ontowf1o 5234  cen 6765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-en 6768
This theorem is referenced by:  nneneq  6886  php5  6887  snnen2oprc  6889  php5dom  6892  ssfilem  6904  dif1enen  6909  fin0  6914  fin0or  6915  diffitest  6916  findcard  6917  findcard2  6918  findcard2s  6919  diffisn  6922  fiintim  6958  fisseneq  6961  fihasheq0  10808  zfz1iso  10856
  Copyright terms: Public domain W3C validator