Theorem en0 7087

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 7035	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅)
2		f1ocnv 5655	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴)
3		f1o00 5679	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4262	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	enref 7056	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
10		breq1 4134	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
11	9, 10	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
12	7, 11	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545  ∅c0 3520   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775  –1-1-onto→wf1o 5379   ≈ cen 7025

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7028

This theorem is used by:  nneneq  7163  php5  7164  snnen2oprc  7166  php5dom  7169  ssfilem  7182  ssfilemd  7184  dif1enen  7189  fin0  7194  fin0or  7195  diffitest  7196  findcard  7197  findcard2  7198  findcard2s  7199  diffisn  7202  fiintim  7243  fisseneq  7247  fihasheq0  11255  ssenneg  11303  zfz1iso  11316  uhgr0vsize0en  16693  uhgr0enedgfi  16694