Theorem en0 6917

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6865	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅)
2		f1ocnv 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴)
3		f1o00 5584	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1624	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4190	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	enref 6886	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
10		breq1 4065	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
11	9, 10	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
12	7, 11	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1375  ∃wex 1518  ∅c0 3471   class class class wbr 4062  ^◡ccnv 4695  –1-1-onto→wf1o 5293   ≈ cen 6855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-en 6858

This theorem is referenced by:  nneneq  6986  php5  6987  snnen2oprc  6989  php5dom  6992  ssfilem  7005  dif1enen  7010  fin0  7015  fin0or  7016  diffitest  7017  findcard  7018  findcard2  7019  findcard2s  7020  diffisn  7023  fiintim  7061  fisseneq  7064  fihasheq0  10982  zfz1iso  11030