Theorem en0 6955

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6903	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅)
2		f1ocnv 5587	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴)
3		f1o00 5610	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1644	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4211	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	enref 6924	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
10		breq1 4086	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
11	9, 10	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
12	7, 11	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538  ∅c0 3491   class class class wbr 4083  ^◡ccnv 4718  –1-1-onto→wf1o 5317   ≈ cen 6893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-en 6896

This theorem is referenced by:  nneneq  7026  php5  7027  snnen2oprc  7029  php5dom  7032  ssfilem  7045  dif1enen  7050  fin0  7055  fin0or  7056  diffitest  7057  findcard  7058  findcard2  7059  findcard2s  7060  diffisn  7063  fiintim  7101  fisseneq  7104  fihasheq0  11023  zfz1iso  11071