ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en0 GIF version

Theorem en0 6788
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6740 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅)
2 f1ocnv 5469 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝑓:∅–1-1-onto𝐴)
3 f1o00 5491 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
43simprbi 275 . . . . 5 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴𝐴 = ∅)
52, 4syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
65exlimiv 1598 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
71, 6sylbi 121 . 2 (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0ex 4127 . . . 4 ∅ ∈ V
98enref 6758 . . 3 ∅ ≈ ∅
10 breq1 4003 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
119, 10mpbiri 168 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
127, 11impbii 126 1 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  c0 3422   class class class wbr 4000  ccnv 4621  1-1-ontowf1o 5210  cen 6731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-en 6734
This theorem is referenced by:  nneneq  6850  php5  6851  snnen2oprc  6853  php5dom  6856  ssfilem  6868  dif1enen  6873  fin0  6878  fin0or  6879  diffitest  6880  findcard  6881  findcard2  6882  findcard2s  6883  diffisn  6886  fiintim  6921  fisseneq  6924  fihasheq0  10744  zfz1iso  10792
  Copyright terms: Public domain W3C validator