Theorem ffzo0hash 10682

Description: The size of a function on a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ffzo0hash	|- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> (♯ ` F ) = N )

Proof of Theorem ffzo0hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> F Fn ( 0..^ N ) )
2		0zd 9158	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> 0 e. ZZ )
3		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> N e. NN0 )
4	3	nn0zd 9263	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
5		fzofig 10309	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		fihashfn 10651	. . 3 |- ( ( F Fn ( 0..^ N ) /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> (♯ ` F ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
8	1, 6, 7	syl2anc 409	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> (♯ ` F ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
9		hashfzo0 10674	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
10	9	adantr 274	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
11	8, 10	eqtrd 2187	1 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0..^ N ) ) -> (♯ ` F ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   Fn wfn 5158   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   Fincfn 6674   0cc0 7711   NN0cn0 9069   ZZcz 9146  ..^cfzo 10019  ♯chash 10626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-ihash 10627

This theorem is referenced by:  fnfzo0hash  10683