Theorem fzofig 10543

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzofig	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzofig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10242	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
3		peano2zm 9383	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4		fzfig 10541	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
5	3, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
6	2, 5	eqeltrd 2273	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   1c1 7899   - cmin 8216   ZZcz 9345   ...cfz 10102  ..^cfzo 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-fzo 10237

This theorem is referenced by:  ffzo0hash  10945  iswrd  10956  wrdval  10957  wrdexg  10965  wrdfin  10973  wrdnval  10984  wrdred1hash  10997  telfsumo  11650  fsumparts  11654  geosergap  11690  bitsfi  12141  bitsinv1  12146  crth  12419  phimullem  12420  eulerthlemfi  12423  hashgcdeq  12435  phisum  12436  4sqlemafi  12591  znfi  14289  znhash  14290  trilpolemeq1  15773  nconstwlpolemgt0  15797