Theorem fzofig 10509

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzofig	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzofig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10220	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
3		peano2zm 9361	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4		fzfig 10507	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
5	3, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
6	2, 5	eqeltrd 2273	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   1c1 7878   - cmin 8195   ZZcz 9323   ...cfz 10080  ..^cfzo 10214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215

This theorem is referenced by:  ffzo0hash  10911  iswrd  10922  wrdval  10923  wrdexg  10931  wrdfin  10939  wrdnval  10950  wrdred1hash  10963  telfsumo  11615  fsumparts  11619  geosergap  11655  crth  12368  phimullem  12369  eulerthlemfi  12372  hashgcdeq  12384  phisum  12385  4sqlemafi  12540  znfi  14187  znhash  14188  trilpolemeq1  15651  nconstwlpolemgt0  15675