Theorem nn0zd 9391

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9289	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3168	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   NN0cn0 9194   ZZcz 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272

This theorem is referenced by:  nnzd  9392  xnn0dcle  9820  xnn0letri  9821  fseq1p1m1  10112  difelfznle  10153  flltdivnn0lt  10322  zmodfz  10364  addmodid  10390  modaddmodup  10405  modaddmodlo  10406  modsumfzodifsn  10414  addmodlteq  10416  expnegzap  10572  expaddzaplem  10581  expaddzap  10582  expmulzap  10584  nn0ltexp2  10707  nn0opthd  10720  facdiv  10736  facwordi  10738  faclbnd  10739  facavg  10744  bcval  10747  bcval5  10761  bcpasc  10764  hashfiv01gt1  10780  isfinite4im  10790  fihashneq0  10792  fseq1hash  10799  fnfz0hash  10830  ffzo0hash  10832  zfz1isolemiso  10837  resqrexlemga  11050  zabscl  11113  fsum0diaglem  11466  modfsummodlemstep  11483  binomlem  11509  binom1p  11511  binom1dif  11513  arisum2  11525  geosergap  11532  geoserap  11533  pwm1geoserap1  11534  geolim2  11538  cvgratnnlemrate  11556  mertenslemi1  11561  mertenslem2  11562  mertensabs  11563  efcvgfsum  11693  efaddlem  11700  dvdsdc  11823  divalglemnn  11941  divalgmod  11950  zeqzmulgcd  11989  gcd0id  11998  gcdneg  12001  gcdaddm  12003  modgcd  12010  gcdmultipled  12012  bezoutlemnewy  12015  bezoutlemstep  12016  bezoutlemmain  12017  bezoutlemzz  12021  bezoutlemmo  12025  bezoutlemle  12027  bezoutlemsup  12028  dfgcd3  12029  dvdsgcdb  12032  gcdass  12034  mulgcd  12035  gcdzeq  12041  dvdsmulgcd  12044  bezoutr  12051  bezoutr1  12052  nn0seqcvgd  12059  algfx  12070  eucalgval2  12071  eucalginv  12074  eucalglt  12075  eucalg  12077  gcddvdslcm  12091  lcmneg  12092  lcmgcdlem  12095  lcmdvds  12097  lcmgcdeq  12101  lcmdvdsb  12102  lcmass  12103  mulgcddvds  12112  rpmulgcd2  12113  qredeu  12115  divgcdcoprm0  12119  divgcdcoprmex  12120  cncongr1  12121  cncongr2  12122  sqnprm  12154  rpexp  12171  sqpweven  12193  2sqpwodd  12194  divnumden  12214  phivalfi  12230  phicl2  12232  phiprmpw  12240  crth  12242  phimullem  12243  eulerthlemfi  12246  eulerthlema  12248  hashgcdeq  12257  phisum  12258  odzdvds  12263  powm2modprm  12270  coprimeprodsq  12275  pcprendvds  12308  pcpremul  12311  pceu  12313  pcdiv  12320  pcqcl  12324  pcdvdsb  12337  pc2dvds  12347  pcprmpw2  12350  dvdsprmpweqle  12354  pcadd  12357  fldivp1  12364  pcfaclem  12365  pcfac  12366  pcbc  12367  pockthlem  12372  1arith  12383  mul4sqlem  12409  ennnfoneleminc  12430  ennnfonelemrnh  12435  ennnfonelemim  12443  lgsval  14802  lgsfvalg  14803  lgsfcl2  14804  lgsval2lem  14808  lgsmod  14824  lgsdir2  14831  lgsne0  14836  lgsprme0  14840  lgseisenlem1  14847  lgseisenlem2  14848  m1lgs  14849  2lgsoddprmlem2  14851  2sqlem8  14867  nninffeq  15167