Theorem nn0zd 9771

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9667	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3246	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NN0cn0 9568   ZZcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  nnzd  9772  eluzmn  9938  xnn0dcle  10215  xnn0letri  10216  fseq1p1m1  10512  difelfznle  10553  flltdivnn0lt  10754  zmodfz  10798  addmodid  10824  modaddmodup  10839  modaddmodlo  10840  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  expnegzap  11025  expaddzaplem  11034  expaddzap  11035  expmulzap  11037  nn0ltexp2  11163  nn0opthd  11176  facdiv  11192  facwordi  11194  faclbnd  11195  facavg  11200  bcval  11203  bcval5  11217  bcpasc  11220  hashfiv01gt1  11237  isfinite4im  11247  fihashneq0  11249  fseq1hash  11257  fnfz0hash  11291  ffzo0hash  11293  sseqn  11295  hashfibclem  11298  hashf1  11303  zfz1isolemiso  11307  wrdfin  11339  wrdffz  11341  wrdsymb0  11353  wrdlenge1n0  11354  lswwrd  11367  ccatfvalfi  11376  ccatcl  11377  ccatlen  11379  ccatval2  11382  ccatval3  11383  ccatvalfn  11385  ccatsymb  11386  ccatval21sw  11389  ccatass  11392  ccatrn  11393  lswccatn0lsw  11395  ccatalpha  11397  ccats1val2  11424  ccat1st1st  11425  fzowrddc  11435  swrdnd  11447  swrdspsleq  11455  swrdccat2  11459  pfxval  11462  pfxwrdsymbg  11478  pfxtrcfv0  11482  pfxtrcfvl  11485  ccatpfx  11489  pfxccat1  11490  lenrevpfxcctswrd  11500  wrdind  11510  wrd2ind  11511  swrdccatin1  11513  swrdccatin2  11517  pfxccatin12  11521  swrdccat  11523  pfxccatpfx2  11525  pfxccat3a  11526  swrdccat3blem  11527  swrdccat3b  11528  resqrexlemga  11805  zabscl  11869  fsum0diaglem  12226  modfsummodlemstep  12243  binomlem  12269  binom1p  12271  binom1dif  12273  arisum2  12285  geosergap  12292  geoserap  12293  pwm1geoserap1  12294  geolim2  12298  cvgratnnlemrate  12316  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  efcvgfsum  12453  efaddlem  12460  dvdsdc  12584  divalglemnn  12704  divalgmod  12713  bitsfzolem  12740  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  bitsfi  12743  bitsinv1lem  12747  bitsinv1  12748  zeqzmulgcd  12766  gcd0id  12775  gcdneg  12778  gcdaddm  12780  modgcd  12787  gcdmultipled  12789  bezoutlemnewy  12792  bezoutlemstep  12793  bezoutlemmain  12794  bezoutlemzz  12798  bezoutlemmo  12802  bezoutlemle  12804  bezoutlemsup  12805  dfgcd3  12806  dvdsgcdb  12809  gcdass  12811  mulgcd  12812  gcdzeq  12818  dvdsmulgcd  12821  bezoutr  12828  bezoutr1  12829  nn0seqcvgd  12838  algfx  12849  eucalgval2  12850  eucalginv  12853  eucalglt  12854  eucalg  12856  gcddvdslcm  12870  lcmneg  12871  lcmgcdlem  12874  lcmdvds  12876  lcmgcdeq  12880  lcmdvdsb  12881  lcmass  12882  mulgcddvds  12891  rpmulgcd2  12892  qredeu  12894  divgcdcoprm0  12898  divgcdcoprmex  12899  cncongr1  12900  cncongr2  12901  sqnprm  12934  rpexp  12951  sqpweven  12974  2sqpwodd  12975  divnumden  12995  phivalfi  13013  phicl2  13015  phiprmpw  13023  crth  13025  phimullem  13026  eulerthlemfi  13029  eulerthlema  13031  hashgcdeq  13041  phisum  13042  odzdvds  13047  powm2modprm  13054  coprimeprodsq  13059  pcprendvds  13092  pcpremul  13095  pceu  13097  pcdiv  13104  pcqcl  13108  pcdvdsb  13122  pc2dvds  13132  pcprmpw2  13135  dvdsprmpweqle  13139  pcadd  13142  fldivp1  13150  pcfaclem  13151  pcfac  13152  pcbc  13153  pockthlem  13158  1arith  13169  mul4sqlem  13195  4sqlemafi  13197  4sqlemffi  13198  4sqleminfi  13199  4sqexercise1  13200  4sqlemsdc  13202  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  4sqlem14  13206  ballotfilemofi  13271  ballotfilemfval  13281  ballotfilemfelz  13282  ballotfilemgval  13319  ennnfoneleminc  13354  ennnfonelemrnh  13359  ennnfonelemim  13367  gsumvalfi  14236  gzsumgsum1  14237  gsumf1ofi  14244  gsummhmfi  14248  gsumressfi  14251  znunit  15078  asclmulg  15128  psrbaglesuppg  15141  psrbagfi  15143  psrbaglecl  15144  psrbagcon  15146  psrbaglefifi  15147  psrbagconf1o  15149  psr1clfi  15170  elply2  15927  plyf  15929  elplyd  15933  ply1termlem  15934  ply1term  15935  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plyaddlem  15941  plycoeid3  15949  plycolemc  15950  plycjlemc  15952  plycn  15954  plyrecj  15955  dvply1  15957  dvply2g  15958  zprmlogbaplem1  16176  zprmlogbaplem2  16177  birthdaylem2  16187  wilthlem1  16193  ppiqnncl  16239  sgmppw  16247  ppiqub  16254  chtublem  16256  bcmax  16266  bposlem1  16272  bposlem5  16276  bposlem6  16277  lgsval  16289  lgsfvalg  16290  lgsfcl2  16291  lgsval2lem  16295  lgsmod  16311  lgsdir2  16318  lgsne0  16323  lgsprme0  16327  gausslemma2dlem0h  16341  gausslemma2dlem0i  16342  gausslemma2dlem2  16347  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  m1lgs  16370  2lgslem1a  16373  2lgslem3a  16378  2lgslem3b  16379  2lgslem3c  16380  2lgslem3d  16381  2lgslem3d1  16385  2lgs  16389  2lgsoddprmlem2  16391  2lgsoddprm  16398  2sqlem8  16408  vdegp1bid  16722  wksfval  16729  wlkex  16732  iswlkg  16736  clwwlkccatlem  16807  umgrclwwlkge2  16809  clwwlknonex2lem2  16845  eupthfi  16858  eupth2lem3lem3fi  16877  eupth2lem3lem4fi  16880  eupth2lem3fi  16883  eupth2lemsfi  16885  konigsberglem5  16899  nninffeq  17229