Theorem nn0zd 9578

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9475	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3222	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   NN0cn0 9380   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  nnzd  9579  eluzmn  9740  xnn0dcle  10010  xnn0letri  10011  fseq1p1m1  10302  difelfznle  10343  flltdivnn0lt  10536  zmodfz  10580  addmodid  10606  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  expnegzap  10807  expaddzaplem  10816  expaddzap  10817  expmulzap  10819  nn0ltexp2  10943  nn0opthd  10956  facdiv  10972  facwordi  10974  faclbnd  10975  facavg  10980  bcval  10983  bcval5  10997  bcpasc  11000  hashfiv01gt1  11016  isfinite4im  11026  fihashneq0  11028  fseq1hash  11035  fnfz0hash  11067  ffzo0hash  11069  zfz1isolemiso  11074  wrdfin  11103  wrdffz  11105  wrdsymb0  11117  wrdlenge1n0  11118  lswwrd  11131  ccatfvalfi  11140  ccatcl  11141  ccatlen  11143  ccatval2  11146  ccatval3  11147  ccatvalfn  11149  ccatsymb  11150  ccatval21sw  11153  ccatass  11156  ccatrn  11157  lswccatn0lsw  11159  ccatalpha  11161  ccats1val2  11187  ccat1st1st  11188  fzowrddc  11195  swrdnd  11207  swrdspsleq  11215  swrdccat2  11219  pfxval  11222  pfxwrdsymbg  11238  pfxtrcfv0  11242  pfxtrcfvl  11245  ccatpfx  11249  pfxccat1  11250  lenrevpfxcctswrd  11260  wrdind  11270  wrd2ind  11271  swrdccatin1  11273  swrdccatin2  11277  pfxccatin12  11281  swrdccat  11283  pfxccatpfx2  11285  pfxccat3a  11286  swrdccat3blem  11287  swrdccat3b  11288  resqrexlemga  11550  zabscl  11613  fsum0diaglem  11967  modfsummodlemstep  11984  binomlem  12010  binom1p  12012  binom1dif  12014  arisum2  12026  geosergap  12033  geoserap  12034  pwm1geoserap1  12035  geolim2  12039  cvgratnnlemrate  12057  mertenslemi1  12062  mertenslem2  12063  mertensabs  12064  efcvgfsum  12194  efaddlem  12201  dvdsdc  12325  divalglemnn  12445  divalgmod  12454  bitsfzolem  12481  bitsfzo  12482  bitsmod  12483  bitsfi  12484  bitsinv1lem  12488  bitsinv1  12489  zeqzmulgcd  12507  gcd0id  12516  gcdneg  12519  gcdaddm  12521  modgcd  12528  gcdmultipled  12530  bezoutlemnewy  12533  bezoutlemstep  12534  bezoutlemmain  12535  bezoutlemzz  12539  bezoutlemmo  12543  bezoutlemle  12545  bezoutlemsup  12546  dfgcd3  12547  dvdsgcdb  12550  gcdass  12552  mulgcd  12553  gcdzeq  12559  dvdsmulgcd  12562  bezoutr  12569  bezoutr1  12570  nn0seqcvgd  12579  algfx  12590  eucalgval2  12591  eucalginv  12594  eucalglt  12595  eucalg  12597  gcddvdslcm  12611  lcmneg  12612  lcmgcdlem  12615  lcmdvds  12617  lcmgcdeq  12621  lcmdvdsb  12622  lcmass  12623  mulgcddvds  12632  rpmulgcd2  12633  qredeu  12635  divgcdcoprm0  12639  divgcdcoprmex  12640  cncongr1  12641  cncongr2  12642  sqnprm  12674  rpexp  12691  sqpweven  12713  2sqpwodd  12714  divnumden  12734  phivalfi  12750  phicl2  12752  phiprmpw  12760  crth  12762  phimullem  12763  eulerthlemfi  12766  eulerthlema  12768  hashgcdeq  12778  phisum  12779  odzdvds  12784  powm2modprm  12791  coprimeprodsq  12796  pcprendvds  12829  pcpremul  12832  pceu  12834  pcdiv  12841  pcqcl  12845  pcdvdsb  12859  pc2dvds  12869  pcprmpw2  12872  dvdsprmpweqle  12876  pcadd  12879  fldivp1  12887  pcfaclem  12888  pcfac  12889  pcbc  12890  pockthlem  12895  1arith  12906  mul4sqlem  12932  4sqlemafi  12934  4sqlemffi  12935  4sqleminfi  12936  4sqexercise1  12937  4sqlemsdc  12939  4sqlem11  12940  4sqlem12  12941  4sqlem14  12943  ennnfoneleminc  12998  ennnfonelemrnh  13003  ennnfonelemim  13011  znunit  14639  psrbaglesuppg  14652  psrbagfi  14653  psr1clfi  14668  elply2  15425  plyf  15427  elplyd  15431  ply1termlem  15432  ply1term  15433  plyaddlem1  15437  plymullem1  15438  plyaddlem  15439  plycoeid3  15447  plycolemc  15448  plycjlemc  15450  plycn  15452  plyrecj  15453  dvply1  15455  dvply2g  15456  wilthlem1  15670  sgmppw  15682  lgsval  15699  lgsfvalg  15700  lgsfcl2  15701  lgsval2lem  15705  lgsmod  15721  lgsdir2  15728  lgsne0  15733  lgsprme0  15737  gausslemma2dlem0h  15751  gausslemma2dlem0i  15752  gausslemma2dlem2  15757  gausslemma2dlem6  15762  gausslemma2d  15764  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgseisenlem4  15768  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  m1lgs  15780  2lgslem1a  15783  2lgslem3a  15788  2lgslem3b  15789  2lgslem3c  15790  2lgslem3d  15791  2lgslem3d1  15795  2lgs  15799  2lgsoddprmlem2  15801  2lgsoddprm  15808  2sqlem8  15818  wksfval  16068  wlkex  16071  iswlkg  16075  clwwlkccatlem  16143  umgrclwwlkge2  16145  nninffeq  16474