Theorem nn0zd 9451

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9349	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3182	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   NN0cn0 9254   ZZcz 9331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-inn 8996  df-n0 9255  df-z 9332

This theorem is referenced by:  nnzd  9452  xnn0dcle  9882  xnn0letri  9883  fseq1p1m1  10174  difelfznle  10215  flltdivnn0lt  10399  zmodfz  10443  addmodid  10469  modaddmodup  10484  modaddmodlo  10485  modsumfzodifsn  10493  addmodlteq  10495  expnegzap  10670  expaddzaplem  10679  expaddzap  10680  expmulzap  10682  nn0ltexp2  10806  nn0opthd  10819  facdiv  10835  facwordi  10837  faclbnd  10838  facavg  10843  bcval  10846  bcval5  10860  bcpasc  10863  hashfiv01gt1  10879  isfinite4im  10889  fihashneq0  10891  fseq1hash  10898  fnfz0hash  10929  ffzo0hash  10931  zfz1isolemiso  10936  wrdfin  10959  wrdffz  10961  wrdsymb0  10972  wrdlenge1n0  10973  resqrexlemga  11193  zabscl  11256  fsum0diaglem  11610  modfsummodlemstep  11627  binomlem  11653  binom1p  11655  binom1dif  11657  arisum2  11669  geosergap  11676  geoserap  11677  pwm1geoserap1  11678  geolim2  11682  cvgratnnlemrate  11700  mertenslemi1  11705  mertenslem2  11706  mertensabs  11707  efcvgfsum  11837  efaddlem  11844  dvdsdc  11968  divalglemnn  12088  divalgmod  12097  bitsfzolem  12124  bitsfzo  12125  bitsmod  12126  bitsfi  12127  bitsinv1lem  12131  bitsinv1  12132  zeqzmulgcd  12150  gcd0id  12159  gcdneg  12162  gcdaddm  12164  modgcd  12171  gcdmultipled  12173  bezoutlemnewy  12176  bezoutlemstep  12177  bezoutlemmain  12178  bezoutlemzz  12182  bezoutlemmo  12186  bezoutlemle  12188  bezoutlemsup  12189  dfgcd3  12190  dvdsgcdb  12193  gcdass  12195  mulgcd  12196  gcdzeq  12202  dvdsmulgcd  12205  bezoutr  12212  bezoutr1  12213  nn0seqcvgd  12222  algfx  12233  eucalgval2  12234  eucalginv  12237  eucalglt  12238  eucalg  12240  gcddvdslcm  12254  lcmneg  12255  lcmgcdlem  12258  lcmdvds  12260  lcmgcdeq  12264  lcmdvdsb  12265  lcmass  12266  mulgcddvds  12275  rpmulgcd2  12276  qredeu  12278  divgcdcoprm0  12282  divgcdcoprmex  12283  cncongr1  12284  cncongr2  12285  sqnprm  12317  rpexp  12334  sqpweven  12356  2sqpwodd  12357  divnumden  12377  phivalfi  12393  phicl2  12395  phiprmpw  12403  crth  12405  phimullem  12406  eulerthlemfi  12409  eulerthlema  12411  hashgcdeq  12421  phisum  12422  odzdvds  12427  powm2modprm  12434  coprimeprodsq  12439  pcprendvds  12472  pcpremul  12475  pceu  12477  pcdiv  12484  pcqcl  12488  pcdvdsb  12502  pc2dvds  12512  pcprmpw2  12515  dvdsprmpweqle  12519  pcadd  12522  fldivp1  12530  pcfaclem  12531  pcfac  12532  pcbc  12533  pockthlem  12538  1arith  12549  mul4sqlem  12575  4sqlemafi  12577  4sqlemffi  12578  4sqleminfi  12579  4sqexercise1  12580  4sqlemsdc  12582  4sqlem11  12583  4sqlem12  12584  4sqlem14  12586  ennnfoneleminc  12641  ennnfonelemrnh  12646  ennnfonelemim  12654  znunit  14262  psrbaglesuppg  14273  elply2  15018  plyf  15020  elplyd  15024  ply1termlem  15025  ply1term  15026  plyaddlem1  15030  plymullem1  15031  plyaddlem  15032  plycoeid3  15040  plycolemc  15041  plycjlemc  15043  plycn  15045  plyrecj  15046  dvply1  15048  dvply2g  15049  wilthlem1  15263  sgmppw  15275  lgsval  15292  lgsfvalg  15293  lgsfcl2  15294  lgsval2lem  15298  lgsmod  15314  lgsdir2  15321  lgsne0  15326  lgsprme0  15330  gausslemma2dlem0h  15344  gausslemma2dlem0i  15345  gausslemma2dlem2  15350  gausslemma2dlem6  15355  gausslemma2d  15357  lgseisenlem1  15358  lgseisenlem2  15359  lgseisenlem3  15360  lgseisenlem4  15361  lgsquadlem1  15365  lgsquadlem2  15366  m1lgs  15373  2lgslem1a  15376  2lgslem3a  15381  2lgslem3b  15382  2lgslem3c  15383  2lgslem3d  15384  2lgslem3d1  15388  2lgs  15392  2lgsoddprmlem2  15394  2lgsoddprm  15401  2sqlem8  15411  nninffeq  15714