Theorem nn0zd 9495

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9392	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3191	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   NN0cn0 9297   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  nnzd  9496  xnn0dcle  9926  xnn0letri  9927  fseq1p1m1  10218  difelfznle  10259  flltdivnn0lt  10449  zmodfz  10493  addmodid  10519  modaddmodup  10534  modaddmodlo  10535  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  expnegzap  10720  expaddzaplem  10729  expaddzap  10730  expmulzap  10732  nn0ltexp2  10856  nn0opthd  10869  facdiv  10885  facwordi  10887  faclbnd  10888  facavg  10893  bcval  10896  bcval5  10910  bcpasc  10913  hashfiv01gt1  10929  isfinite4im  10939  fihashneq0  10941  fseq1hash  10948  fnfz0hash  10979  ffzo0hash  10981  zfz1isolemiso  10986  wrdfin  11015  wrdffz  11017  wrdsymb0  11028  wrdlenge1n0  11029  lswwrd  11042  ccatfvalfi  11051  ccatcl  11052  ccatlen  11054  ccatval2  11057  ccatval3  11058  ccatvalfn  11060  ccatsymb  11061  ccatval21sw  11064  ccatass  11067  ccatrn  11068  lswccatn0lsw  11070  ccats1val2  11095  ccat1st1st  11096  fzowrddc  11103  swrdnd  11115  swrdspsleq  11123  swrdccat2  11127  pfxval  11130  pfxwrdsymbg  11144  pfxtrcfv0  11148  pfxtrcfvl  11151  ccatpfx  11155  pfxccat1  11156  resqrexlemga  11367  zabscl  11430  fsum0diaglem  11784  modfsummodlemstep  11801  binomlem  11827  binom1p  11829  binom1dif  11831  arisum2  11843  geosergap  11850  geoserap  11851  pwm1geoserap1  11852  geolim2  11856  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  efcvgfsum  12011  efaddlem  12018  dvdsdc  12142  divalglemnn  12262  divalgmod  12271  bitsfzolem  12298  bitsfzo  12299  bitsmod  12300  bitsfi  12301  bitsinv1lem  12305  bitsinv1  12306  zeqzmulgcd  12324  gcd0id  12333  gcdneg  12336  gcdaddm  12338  modgcd  12345  gcdmultipled  12347  bezoutlemnewy  12350  bezoutlemstep  12351  bezoutlemmain  12352  bezoutlemzz  12356  bezoutlemmo  12360  bezoutlemle  12362  bezoutlemsup  12363  dfgcd3  12364  dvdsgcdb  12367  gcdass  12369  mulgcd  12370  gcdzeq  12376  dvdsmulgcd  12379  bezoutr  12386  bezoutr1  12387  nn0seqcvgd  12396  algfx  12407  eucalgval2  12408  eucalginv  12411  eucalglt  12412  eucalg  12414  gcddvdslcm  12428  lcmneg  12429  lcmgcdlem  12432  lcmdvds  12434  lcmgcdeq  12438  lcmdvdsb  12439  lcmass  12440  mulgcddvds  12449  rpmulgcd2  12450  qredeu  12452  divgcdcoprm0  12456  divgcdcoprmex  12457  cncongr1  12458  cncongr2  12459  sqnprm  12491  rpexp  12508  sqpweven  12530  2sqpwodd  12531  divnumden  12551  phivalfi  12567  phicl2  12569  phiprmpw  12577  crth  12579  phimullem  12580  eulerthlemfi  12583  eulerthlema  12585  hashgcdeq  12595  phisum  12596  odzdvds  12601  powm2modprm  12608  coprimeprodsq  12613  pcprendvds  12646  pcpremul  12649  pceu  12651  pcdiv  12658  pcqcl  12662  pcdvdsb  12676  pc2dvds  12686  pcprmpw2  12689  dvdsprmpweqle  12693  pcadd  12696  fldivp1  12704  pcfaclem  12705  pcfac  12706  pcbc  12707  pockthlem  12712  1arith  12723  mul4sqlem  12749  4sqlemafi  12751  4sqlemffi  12752  4sqleminfi  12753  4sqexercise1  12754  4sqlemsdc  12756  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  4sqlem14  12760  ennnfoneleminc  12815  ennnfonelemrnh  12820  ennnfonelemim  12828  znunit  14454  psrbaglesuppg  14467  psrbagfi  14468  psr1clfi  14483  elply2  15240  plyf  15242  elplyd  15246  ply1termlem  15247  ply1term  15248  plyaddlem1  15252  plymullem1  15253  plyaddlem  15254  plycoeid3  15262  plycolemc  15263  plycjlemc  15265  plycn  15267  plyrecj  15268  dvply1  15270  dvply2g  15271  wilthlem1  15485  sgmppw  15497  lgsval  15514  lgsfvalg  15515  lgsfcl2  15516  lgsval2lem  15520  lgsmod  15536  lgsdir2  15543  lgsne0  15548  lgsprme0  15552  gausslemma2dlem0h  15566  gausslemma2dlem0i  15567  gausslemma2dlem2  15572  gausslemma2dlem6  15577  gausslemma2d  15579  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgseisenlem4  15583  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  m1lgs  15595  2lgslem1a  15598  2lgslem3a  15603  2lgslem3b  15604  2lgslem3c  15605  2lgslem3d  15606  2lgslem3d1  15610  2lgs  15614  2lgsoddprmlem2  15616  2lgsoddprm  15623  2sqlem8  15633  nninffeq  15994