Theorem nn0zd 9528

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9425	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3199	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   NN0cn0 9330   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  nnzd  9529  xnn0dcle  9959  xnn0letri  9960  fseq1p1m1  10251  difelfznle  10292  flltdivnn0lt  10484  zmodfz  10528  addmodid  10554  modaddmodup  10569  modaddmodlo  10570  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  expnegzap  10755  expaddzaplem  10764  expaddzap  10765  expmulzap  10767  nn0ltexp2  10891  nn0opthd  10904  facdiv  10920  facwordi  10922  faclbnd  10923  facavg  10928  bcval  10931  bcval5  10945  bcpasc  10948  hashfiv01gt1  10964  isfinite4im  10974  fihashneq0  10976  fseq1hash  10983  fnfz0hash  11014  ffzo0hash  11016  zfz1isolemiso  11021  wrdfin  11050  wrdffz  11052  wrdsymb0  11063  wrdlenge1n0  11064  lswwrd  11077  ccatfvalfi  11086  ccatcl  11087  ccatlen  11089  ccatval2  11092  ccatval3  11093  ccatvalfn  11095  ccatsymb  11096  ccatval21sw  11099  ccatass  11102  ccatrn  11103  lswccatn0lsw  11105  ccats1val2  11130  ccat1st1st  11131  fzowrddc  11138  swrdnd  11150  swrdspsleq  11158  swrdccat2  11162  pfxval  11165  pfxwrdsymbg  11181  pfxtrcfv0  11185  pfxtrcfvl  11188  ccatpfx  11192  pfxccat1  11193  lenrevpfxcctswrd  11203  wrdind  11213  wrd2ind  11214  swrdccatin1  11216  swrdccatin2  11220  pfxccatin12  11224  swrdccat  11226  pfxccatpfx2  11228  pfxccat3a  11229  swrdccat3blem  11230  swrdccat3b  11231  resqrexlemga  11449  zabscl  11512  fsum0diaglem  11866  modfsummodlemstep  11883  binomlem  11909  binom1p  11911  binom1dif  11913  arisum2  11925  geosergap  11932  geoserap  11933  pwm1geoserap1  11934  geolim2  11938  cvgratnnlemrate  11956  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  efcvgfsum  12093  efaddlem  12100  dvdsdc  12224  divalglemnn  12344  divalgmod  12353  bitsfzolem  12380  bitsfzo  12381  bitsmod  12382  bitsfi  12383  bitsinv1lem  12387  bitsinv1  12388  zeqzmulgcd  12406  gcd0id  12415  gcdneg  12418  gcdaddm  12420  modgcd  12427  gcdmultipled  12429  bezoutlemnewy  12432  bezoutlemstep  12433  bezoutlemmain  12434  bezoutlemzz  12438  bezoutlemmo  12442  bezoutlemle  12444  bezoutlemsup  12445  dfgcd3  12446  dvdsgcdb  12449  gcdass  12451  mulgcd  12452  gcdzeq  12458  dvdsmulgcd  12461  bezoutr  12468  bezoutr1  12469  nn0seqcvgd  12478  algfx  12489  eucalgval2  12490  eucalginv  12493  eucalglt  12494  eucalg  12496  gcddvdslcm  12510  lcmneg  12511  lcmgcdlem  12514  lcmdvds  12516  lcmgcdeq  12520  lcmdvdsb  12521  lcmass  12522  mulgcddvds  12531  rpmulgcd2  12532  qredeu  12534  divgcdcoprm0  12538  divgcdcoprmex  12539  cncongr1  12540  cncongr2  12541  sqnprm  12573  rpexp  12590  sqpweven  12612  2sqpwodd  12613  divnumden  12633  phivalfi  12649  phicl2  12651  phiprmpw  12659  crth  12661  phimullem  12662  eulerthlemfi  12665  eulerthlema  12667  hashgcdeq  12677  phisum  12678  odzdvds  12683  powm2modprm  12690  coprimeprodsq  12695  pcprendvds  12728  pcpremul  12731  pceu  12733  pcdiv  12740  pcqcl  12744  pcdvdsb  12758  pc2dvds  12768  pcprmpw2  12771  dvdsprmpweqle  12775  pcadd  12778  fldivp1  12786  pcfaclem  12787  pcfac  12788  pcbc  12789  pockthlem  12794  1arith  12805  mul4sqlem  12831  4sqlemafi  12833  4sqlemffi  12834  4sqleminfi  12835  4sqexercise1  12836  4sqlemsdc  12838  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  4sqlem14  12842  ennnfoneleminc  12897  ennnfonelemrnh  12902  ennnfonelemim  12910  znunit  14536  psrbaglesuppg  14549  psrbagfi  14550  psr1clfi  14565  elply2  15322  plyf  15324  elplyd  15328  ply1termlem  15329  ply1term  15330  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  plyaddlem  15336  plycoeid3  15344  plycolemc  15345  plycjlemc  15347  plycn  15349  plyrecj  15350  dvply1  15352  dvply2g  15353  wilthlem1  15567  sgmppw  15579  lgsval  15596  lgsfvalg  15597  lgsfcl2  15598  lgsval2lem  15602  lgsmod  15618  lgsdir2  15625  lgsne0  15630  lgsprme0  15634  gausslemma2dlem0h  15648  gausslemma2dlem0i  15649  gausslemma2dlem2  15654  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2d  15661  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  m1lgs  15677  2lgslem1a  15680  2lgslem3a  15685  2lgslem3b  15686  2lgslem3c  15687  2lgslem3d  15688  2lgslem3d1  15692  2lgs  15696  2lgsoddprmlem2  15698  2lgsoddprm  15705  2sqlem8  15715  nninffeq  16159