Theorem nn0zd 9745

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9641	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3246	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   NN0cn0 9542   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  nnzd  9746  eluzmn  9907  xnn0dcle  10183  xnn0letri  10184  fseq1p1m1  10479  difelfznle  10520  flltdivnn0lt  10717  zmodfz  10761  addmodid  10787  modaddmodup  10802  modaddmodlo  10803  modsumfzodifsn  10811  addmodlteq  10813  expnegzap  10988  expaddzaplem  10997  expaddzap  10998  expmulzap  11000  nn0ltexp2  11125  nn0opthd  11138  facdiv  11154  facwordi  11156  faclbnd  11157  facavg  11162  bcval  11165  bcval5  11179  bcpasc  11182  hashfiv01gt1  11199  isfinite4im  11209  fihashneq0  11211  fseq1hash  11219  fnfz0hash  11253  ffzo0hash  11255  sseqn  11257  hashfibclem  11260  hashf1  11265  zfz1isolemiso  11269  wrdfin  11301  wrdffz  11303  wrdsymb0  11315  wrdlenge1n0  11316  lswwrd  11329  ccatfvalfi  11338  ccatcl  11339  ccatlen  11341  ccatval2  11344  ccatval3  11345  ccatvalfn  11347  ccatsymb  11348  ccatval21sw  11351  ccatass  11354  ccatrn  11355  lswccatn0lsw  11357  ccatalpha  11359  ccats1val2  11386  ccat1st1st  11387  fzowrddc  11397  swrdnd  11409  swrdspsleq  11417  swrdccat2  11421  pfxval  11424  pfxwrdsymbg  11440  pfxtrcfv0  11444  pfxtrcfvl  11447  ccatpfx  11451  pfxccat1  11452  lenrevpfxcctswrd  11462  wrdind  11472  wrd2ind  11473  swrdccatin1  11475  swrdccatin2  11479  pfxccatin12  11483  swrdccat  11485  pfxccatpfx2  11487  pfxccat3a  11488  swrdccat3blem  11489  swrdccat3b  11490  resqrexlemga  11767  zabscl  11830  fsum0diaglem  12185  modfsummodlemstep  12202  binomlem  12228  binom1p  12230  binom1dif  12232  arisum2  12244  geosergap  12251  geoserap  12252  pwm1geoserap1  12253  geolim2  12257  cvgratnnlemrate  12275  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  efcvgfsum  12412  efaddlem  12419  dvdsdc  12543  divalglemnn  12663  divalgmod  12672  bitsfzolem  12699  bitsfzo  12700  bitsmod  12701  bitsfi  12702  bitsinv1lem  12706  bitsinv1  12707  zeqzmulgcd  12725  gcd0id  12734  gcdneg  12737  gcdaddm  12739  modgcd  12746  gcdmultipled  12748  bezoutlemnewy  12751  bezoutlemstep  12752  bezoutlemmain  12753  bezoutlemzz  12757  bezoutlemmo  12761  bezoutlemle  12763  bezoutlemsup  12764  dfgcd3  12765  dvdsgcdb  12768  gcdass  12770  mulgcd  12771  gcdzeq  12777  dvdsmulgcd  12780  bezoutr  12787  bezoutr1  12788  nn0seqcvgd  12797  algfx  12808  eucalgval2  12809  eucalginv  12812  eucalglt  12813  eucalg  12815  gcddvdslcm  12829  lcmneg  12830  lcmgcdlem  12833  lcmdvds  12835  lcmgcdeq  12839  lcmdvdsb  12840  lcmass  12841  mulgcddvds  12850  rpmulgcd2  12851  qredeu  12853  divgcdcoprm0  12857  divgcdcoprmex  12858  cncongr1  12859  cncongr2  12860  sqnprm  12892  rpexp  12909  sqpweven  12931  2sqpwodd  12932  divnumden  12952  phivalfi  12968  phicl2  12970  phiprmpw  12978  crth  12980  phimullem  12981  eulerthlemfi  12984  eulerthlema  12986  hashgcdeq  12996  phisum  12997  odzdvds  13002  powm2modprm  13009  coprimeprodsq  13014  pcprendvds  13047  pcpremul  13050  pceu  13052  pcdiv  13059  pcqcl  13063  pcdvdsb  13077  pc2dvds  13087  pcprmpw2  13090  dvdsprmpweqle  13094  pcadd  13097  fldivp1  13105  pcfaclem  13106  pcfac  13107  pcbc  13108  pockthlem  13113  1arith  13124  mul4sqlem  13150  4sqlemafi  13152  4sqlemffi  13153  4sqleminfi  13154  4sqexercise1  13155  4sqlemsdc  13157  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  4sqlem14  13161  ballotfilemofi  13197  ballotfilemfval  13207  ballotfilemfelz  13208  ballotfilemgval  13245  ennnfoneleminc  13280  ennnfonelemrnh  13285  ennnfonelemim  13293  gsumvalfi  14129  gzsumgsum1  14130  gsumf1ofi  14137  gsummhmfi  14141  gsumressfi  14144  znunit  14966  psrbaglesuppg  14980  psrbagfi  14982  psrbaglecl  14983  psrbagcon  14985  psrbagconf1o  14987  psr1clfi  15002  elply2  15759  plyf  15761  elplyd  15765  ply1termlem  15766  ply1term  15767  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plyaddlem  15773  plycoeid3  15781  plycolemc  15782  plycjlemc  15784  plycn  15786  plyrecj  15787  dvply1  15789  dvply2g  15790  wilthlem1  16008  sgmppw  16020  lgsval  16037  lgsfvalg  16038  lgsfcl2  16039  lgsval2lem  16043  lgsmod  16059  lgsdir2  16066  lgsne0  16071  lgsprme0  16075  gausslemma2dlem0h  16089  gausslemma2dlem0i  16090  gausslemma2dlem2  16095  gausslemma2dlem6  16100  gausslemma2d  16102  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  m1lgs  16118  2lgslem1a  16121  2lgslem3a  16126  2lgslem3b  16127  2lgslem3c  16128  2lgslem3d  16129  2lgslem3d1  16133  2lgs  16137  2lgsoddprmlem2  16139  2lgsoddprm  16146  2sqlem8  16156  vdegp1bid  16470  wksfval  16477  wlkex  16480  iswlkg  16484  clwwlkccatlem  16555  umgrclwwlkge2  16557  clwwlknonex2lem2  16593  eupthfi  16606  eupth2lem3lem3fi  16625  eupth2lem3lem4fi  16628  eupth2lem3fi  16631  eupth2lemsfi  16633  konigsberglem5  16647  nninffeq  16968