Theorem nn0zd 9375

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9273	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3155	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   NN0cn0 9178   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  nnzd  9376  xnn0dcle  9804  xnn0letri  9805  fseq1p1m1  10096  difelfznle  10137  flltdivnn0lt  10306  zmodfz  10348  addmodid  10374  modaddmodup  10389  modaddmodlo  10390  modsumfzodifsn  10398  addmodlteq  10400  expnegzap  10556  expaddzaplem  10565  expaddzap  10566  expmulzap  10568  nn0ltexp2  10691  nn0opthd  10704  facdiv  10720  facwordi  10722  faclbnd  10723  facavg  10728  bcval  10731  bcval5  10745  bcpasc  10748  hashfiv01gt1  10764  isfinite4im  10774  fihashneq0  10776  fseq1hash  10783  fnfz0hash  10814  ffzo0hash  10816  zfz1isolemiso  10821  resqrexlemga  11034  zabscl  11097  fsum0diaglem  11450  modfsummodlemstep  11467  binomlem  11493  binom1p  11495  binom1dif  11497  arisum2  11509  geosergap  11516  geoserap  11517  pwm1geoserap1  11518  geolim2  11522  cvgratnnlemrate  11540  mertenslemi1  11545  mertenslem2  11546  mertensabs  11547  efcvgfsum  11677  efaddlem  11684  dvdsdc  11807  divalglemnn  11925  divalgmod  11934  zeqzmulgcd  11973  gcd0id  11982  gcdneg  11985  gcdaddm  11987  modgcd  11994  gcdmultipled  11996  bezoutlemnewy  11999  bezoutlemstep  12000  bezoutlemmain  12001  bezoutlemzz  12005  bezoutlemmo  12009  bezoutlemle  12011  bezoutlemsup  12012  dfgcd3  12013  dvdsgcdb  12016  gcdass  12018  mulgcd  12019  gcdzeq  12025  dvdsmulgcd  12028  bezoutr  12035  bezoutr1  12036  nn0seqcvgd  12043  algfx  12054  eucalgval2  12055  eucalginv  12058  eucalglt  12059  eucalg  12061  gcddvdslcm  12075  lcmneg  12076  lcmgcdlem  12079  lcmdvds  12081  lcmgcdeq  12085  lcmdvdsb  12086  lcmass  12087  mulgcddvds  12096  rpmulgcd2  12097  qredeu  12099  divgcdcoprm0  12103  divgcdcoprmex  12104  cncongr1  12105  cncongr2  12106  sqnprm  12138  rpexp  12155  sqpweven  12177  2sqpwodd  12178  divnumden  12198  phivalfi  12214  phicl2  12216  phiprmpw  12224  crth  12226  phimullem  12227  eulerthlemfi  12230  eulerthlema  12232  hashgcdeq  12241  phisum  12242  odzdvds  12247  powm2modprm  12254  coprimeprodsq  12259  pcprendvds  12292  pcpremul  12295  pceu  12297  pcdiv  12304  pcqcl  12308  pcdvdsb  12321  pc2dvds  12331  pcprmpw2  12334  dvdsprmpweqle  12338  pcadd  12341  fldivp1  12348  pcfaclem  12349  pcfac  12350  pcbc  12351  pockthlem  12356  1arith  12367  mul4sqlem  12393  ennnfoneleminc  12414  ennnfonelemrnh  12419  ennnfonelemim  12427  lgsval  14444  lgsfvalg  14445  lgsfcl2  14446  lgsval2lem  14450  lgsmod  14466  lgsdir2  14473  lgsne0  14478  lgsprme0  14482  lgseisenlem1  14489  lgseisenlem2  14490  m1lgs  14491  2lgsoddprmlem2  14493  2sqlem8  14509  nninffeq  14808