Theorem nn0zd 9600

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9497	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2		nn0zd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	1, 2	sselid 3225	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   NN0cn0 9402   ZZcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  nnzd  9601  eluzmn  9762  xnn0dcle  10037  xnn0letri  10038  fseq1p1m1  10329  difelfznle  10370  flltdivnn0lt  10565  zmodfz  10609  addmodid  10635  modaddmodup  10650  modaddmodlo  10651  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  expnegzap  10836  expaddzaplem  10845  expaddzap  10846  expmulzap  10848  nn0ltexp2  10972  nn0opthd  10985  facdiv  11001  facwordi  11003  faclbnd  11004  facavg  11009  bcval  11012  bcval5  11026  bcpasc  11029  hashfiv01gt1  11045  isfinite4im  11055  fihashneq0  11057  fseq1hash  11065  fnfz0hash  11097  ffzo0hash  11099  zfz1isolemiso  11104  wrdfin  11136  wrdffz  11138  wrdsymb0  11150  wrdlenge1n0  11151  lswwrd  11164  ccatfvalfi  11173  ccatcl  11174  ccatlen  11176  ccatval2  11179  ccatval3  11180  ccatvalfn  11182  ccatsymb  11183  ccatval21sw  11186  ccatass  11189  ccatrn  11190  lswccatn0lsw  11192  ccatalpha  11194  ccats1val2  11221  ccat1st1st  11222  fzowrddc  11232  swrdnd  11244  swrdspsleq  11252  swrdccat2  11256  pfxval  11259  pfxwrdsymbg  11275  pfxtrcfv0  11279  pfxtrcfvl  11282  ccatpfx  11286  pfxccat1  11287  lenrevpfxcctswrd  11297  wrdind  11307  wrd2ind  11308  swrdccatin1  11310  swrdccatin2  11314  pfxccatin12  11318  swrdccat  11320  pfxccatpfx2  11322  pfxccat3a  11323  swrdccat3blem  11324  swrdccat3b  11325  resqrexlemga  11601  zabscl  11664  fsum0diaglem  12019  modfsummodlemstep  12036  binomlem  12062  binom1p  12064  binom1dif  12066  arisum2  12078  geosergap  12085  geoserap  12086  pwm1geoserap1  12087  geolim2  12091  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemi1  12114  mertenslem2  12115  mertensabs  12116  efcvgfsum  12246  efaddlem  12253  dvdsdc  12377  divalglemnn  12497  divalgmod  12506  bitsfzolem  12533  bitsfzo  12534  bitsmod  12535  bitsfi  12536  bitsinv1lem  12540  bitsinv1  12541  zeqzmulgcd  12559  gcd0id  12568  gcdneg  12571  gcdaddm  12573  modgcd  12580  gcdmultipled  12582  bezoutlemnewy  12585  bezoutlemstep  12586  bezoutlemmain  12587  bezoutlemzz  12591  bezoutlemmo  12595  bezoutlemle  12597  bezoutlemsup  12598  dfgcd3  12599  dvdsgcdb  12602  gcdass  12604  mulgcd  12605  gcdzeq  12611  dvdsmulgcd  12614  bezoutr  12621  bezoutr1  12622  nn0seqcvgd  12631  algfx  12642  eucalgval2  12643  eucalginv  12646  eucalglt  12647  eucalg  12649  gcddvdslcm  12663  lcmneg  12664  lcmgcdlem  12667  lcmdvds  12669  lcmgcdeq  12673  lcmdvdsb  12674  lcmass  12675  mulgcddvds  12684  rpmulgcd2  12685  qredeu  12687  divgcdcoprm0  12691  divgcdcoprmex  12692  cncongr1  12693  cncongr2  12694  sqnprm  12726  rpexp  12743  sqpweven  12765  2sqpwodd  12766  divnumden  12786  phivalfi  12802  phicl2  12804  phiprmpw  12812  crth  12814  phimullem  12815  eulerthlemfi  12818  eulerthlema  12820  hashgcdeq  12830  phisum  12831  odzdvds  12836  powm2modprm  12843  coprimeprodsq  12848  pcprendvds  12881  pcpremul  12884  pceu  12886  pcdiv  12893  pcqcl  12897  pcdvdsb  12911  pc2dvds  12921  pcprmpw2  12924  dvdsprmpweqle  12928  pcadd  12931  fldivp1  12939  pcfaclem  12940  pcfac  12941  pcbc  12942  pockthlem  12947  1arith  12958  mul4sqlem  12984  4sqlemafi  12986  4sqlemffi  12987  4sqleminfi  12988  4sqexercise1  12989  4sqlemsdc  12991  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  4sqlem14  12995  ennnfoneleminc  13050  ennnfonelemrnh  13055  ennnfonelemim  13063  znunit  14692  psrbaglesuppg  14705  psrbagfi  14706  psr1clfi  14721  elply2  15478  plyf  15480  elplyd  15484  ply1termlem  15485  ply1term  15486  plyaddlem1  15490  plymullem1  15491  plyaddlem  15492  plycoeid3  15500  plycolemc  15501  plycjlemc  15503  plycn  15505  plyrecj  15506  dvply1  15508  dvply2g  15509  wilthlem1  15723  sgmppw  15735  lgsval  15752  lgsfvalg  15753  lgsfcl2  15754  lgsval2lem  15758  lgsmod  15774  lgsdir2  15781  lgsne0  15786  lgsprme0  15790  gausslemma2dlem0h  15804  gausslemma2dlem0i  15805  gausslemma2dlem2  15810  gausslemma2dlem6  15815  gausslemma2d  15817  lgseisenlem1  15818  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  m1lgs  15833  2lgslem1a  15836  2lgslem3a  15841  2lgslem3b  15842  2lgslem3c  15843  2lgslem3d  15844  2lgslem3d1  15848  2lgs  15852  2lgsoddprmlem2  15854  2lgsoddprm  15861  2sqlem8  15871  vdegp1bid  16185  wksfval  16192  wlkex  16195  iswlkg  16199  clwwlkccatlem  16270  umgrclwwlkge2  16272  clwwlknonex2lem2  16308  eupthfi  16321  eupth2lem3lem3fi  16340  eupth2lem3lem4fi  16343  eupth2lem3fi  16346  eupth2lemsfi  16348  konigsberglem5  16362  nninffeq  16673  gfsumval  16732  gsumgfsum1  16733