ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgfun Unicode version

Theorem frecuzrdgfun 10222
Description: The recursive definition generator on upper integers produces a a function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frecuzrdgrclt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
frecuzrdgrclt.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrclt.r  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgfun  |-  ( ph  ->  Fun  ran  R )
Distinct variable groups:    x, C, y   
x, F, y    x, S, y    x, T, y    ph, x, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgfun
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frecuzrdgrclt.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 frecuzrdgrclt.t . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
4 frecuzrdgrclt.f . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrclt.r . 2  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
6 oveq1 5787 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76cbvmptv 4030 . . 3  |-  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) )
8 freceq1 6295 . . 3  |-  ( ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  -> frec ( ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) ) ,  C )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) )
97, 8ax-mp 5 . 2  |- frec ( ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) ) ,  C )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )
101, 2, 3, 4, 5, 9frecuzrdgfunlem 10221 1  |-  ( ph  ->  Fun  ran  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481    C_ wss 3074   <.cop 3533    |-> cmpt 3995   ran crn 4546   Fun wfun 5123   ` cfv 5129  (class class class)co 5780    e. cmpo 5782  freccfrec 6293   1c1 7643    + caddc 7645   ZZcz 9076   ZZ>=cuz 9348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-id 4221  df-iord 4294  df-on 4296  df-ilim 4297  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-frec 6294  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349
This theorem is referenced by:  frecuzrdgtclt  10223
  Copyright terms: Public domain W3C validator