Theorem funiedgdm2domval 15846

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
funiedgdm2domval	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))

Proof of Theorem funiedgdm2domval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 15833	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
2	1	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
3		fundm2domnop0 11080	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
4	3	iffalsed 3612	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
5	4	3adant1 1039	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
6	2, 5	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4717  dom cdm 4719  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  2^nd c2nd 6291  2_oc2o 6562   ≼ cdom 6894  .efcedgf 15820  iEdgciedg 15829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-dom 6897  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-edgf 15821  df-iedg 15831

This theorem is referenced by:  edgfiedgval2dom  15851  structiedg0val  15856  grstructd2dom  15864