Theorem funiedgdm2domval 15704

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
funiedgdm2domval	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))

Proof of Theorem funiedgdm2domval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 15691	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
2	1	3ad2ant1 1021	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
3		fundm2domnop0 11012	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
4	3	iffalsed 3585	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
5	4	3adant1 1018	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
6	2, 5	eqtrd 2239	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∖ cdif 3167  ∅c0 3464  ifcif 3575  {csn 3638   class class class wbr 4051   × cxp 4681  dom cdm 4683  Fun wfun 5274  ‘cfv 5280  2^nd c2nd 6238  2_oc2o 6509   ≼ cdom 6839  .efcedgf 15678  iEdgciedg 15687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-2nd 6240  df-1o 6515  df-2o 6516  df-dom 6842  df-sub 8265  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-dec 9525  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-edgf 15679  df-iedg 15689

This theorem is referenced by:  edgfiedgval2dom  15709  structiedg0val  15714  grstructd2dom  15722