Theorem iedgvalg 15858

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 15856	. 2 |- iEdg = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) )
2		eleq1 2292	. . 3 |- ( g = G -> ( g e. ( _V X. _V ) <-> G e. ( _V X. _V ) ) )
3		fveq2 5635	. . 3 |- ( g = G -> ( 2nd ` g ) = ( 2nd ` G ) )
4		fveq2 5635	. . 3 |- ( g = G -> (.ef ` g ) = (.ef ` G ) )
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3630	. 2 |- ( g = G -> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		elex 2812	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
7		2ndexg 6326	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
8		edgfid 15847	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
9		edgfndxnn 15849	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10	8, 9	ndxslid 13097	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13099	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
12	7, 11	ifexd 4579	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5736	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   ifcif 3603   X. cxp 4721   ` cfv 5324   2ndc2nd 6297   ndxcnx 13069  .efcedgf 15845  iEdgciedg 15854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fo 5330  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-2nd 6299  df-sub 8342  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-dec 9602  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-edgf 15846  df-iedg 15856

This theorem is referenced by:  iedgex  15860  opiedgval  15865  funiedgdm2domval  15871  funiedgdm2vald  15873  iedgval0  15895  edgvalg  15900