Theorem iedgvalg 15867

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 15865	. 2 |- iEdg = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) )
2		eleq1 2294	. . 3 |- ( g = G -> ( g e. ( _V X. _V ) <-> G e. ( _V X. _V ) ) )
3		fveq2 5639	. . 3 |- ( g = G -> ( 2nd ` g ) = ( 2nd ` G ) )
4		fveq2 5639	. . 3 |- ( g = G -> (.ef ` g ) = (.ef ` G ) )
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3632	. 2 |- ( g = G -> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		elex 2814	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
7		2ndexg 6330	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
8		edgfid 15856	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
9		edgfndxnn 15858	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10	8, 9	ndxslid 13106	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13108	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
12	7, 11	ifexd 4581	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5740	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   X. cxp 4723   ` cfv 5326   2ndc2nd 6301   ndxcnx 13078  .efcedgf 15854  iEdgciedg 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-2nd 6303  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-edgf 15855  df-iedg 15865

This theorem is referenced by:  iedgex  15869  opiedgval  15874  funiedgdm2domval  15880  funiedgdm2vald  15882  iedgval0  15904  edgvalg  15909