Theorem iedgvalg 15941

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	|- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 15939	. 2 |- iEdg = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) )
2		eleq1 2294	. . 3 |- ( g = G -> ( g e. ( _V X. _V ) <-> G e. ( _V X. _V ) ) )
3		fveq2 5648	. . 3 |- ( g = G -> ( 2nd ` g ) = ( 2nd ` G ) )
4		fveq2 5648	. . 3 |- ( g = G -> (.ef ` g ) = (.ef ` G ) )
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3636	. 2 |- ( g = G -> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` g ) , (.ef ` g ) ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		elex 2815	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
7		2ndexg 6340	. . 3 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
8		edgfid 15930	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
9		edgfndxnn 15932	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10	8, 9	ndxslid 13170	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13172	. . 3 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
12	7, 11	ifexd 4587	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5749	1 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   ifcif 3607   X. cxp 4729   ` cfv 5333   2ndc2nd 6311   ndxcnx 13142  .efcedgf 15928  iEdgciedg 15937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-2nd 6313  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-edgf 15929  df-iedg 15939

This theorem is referenced by:  iedgex  15943  opiedgval  15948  funiedgdm2domval  15954  funiedgdm2vald  15956  iedgval0  15978  edgvalg  15983