Theorem fzofzp1b 10434

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1b	⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)))

Proof of Theorem fzofzp1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofzp1 10433	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		eluzelz 9731	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		elfzuz3 10218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)))
5		eluzp1m1 9746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
7		elfzuzb 10215	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
9		elfzel2 10219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzoval 10344	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
13	8, 12	eleqtrrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵))
14	13	ex 115	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵)))
15	1, 14	impbid2 143	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  1c1 8000   + caddc 8002   − cmin 8317  ℤcz 9446  ℤ_≥cuz 9722  ...cfz 10204  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by: (None)