ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzonn0p1p1 GIF version

Theorem fzonn0p1p1 9589
Description: If a nonnegative integer is element of a half-open range of nonnegative integers, increasing this integer by one results in an element of a half- open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzonn0p1p1 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzonn0p1p1
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9558 . 2 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 peano2nn0 8683 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
323ad2ant1 964 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
4 peano2nn 8406 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
543ad2ant2 965 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6 simp3 945 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 < 𝑁)
7 nn0re 8652 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
8 nnre 8401 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9 1red 7482 . . . . 5 (𝐼 < 𝑁 → 1 ∈ ℝ)
10 ltadd1 7886 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
117, 8, 9, 10syl3an 1216 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
126, 11mpbid 145 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1))
13 elfzo0 9558 . . 3 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
143, 5, 12, 13syl3anbrc 1127 . 2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
151, 14sylbi 119 1 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501  cn 8394  0cn0 8643  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator