ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsn GIF version

Theorem fzosplitsn 10040
Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsn (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitsn
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
2 eluzelz 9358 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 uzid 9363 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ𝐵))
4 peano2uz 9404 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵))
52, 3, 43syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵))
6 elfzuzb 9830 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵)))
71, 5, 6sylanbrc 414 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)))
8 fzosplit 9984 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))))
97, 8syl 14 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))))
10 fzosn 10012 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵..^(𝐵 + 1)) = {𝐵})
112, 10syl 14 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵..^(𝐵 + 1)) = {𝐵})
1211uneq2d 3234 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
139, 12eqtrd 2173 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  cun 3073  {csn 3531  cfv 5130  (class class class)co 5781  1c1 7644   + caddc 7646  cz 9077  cuz 9349  ...cfz 9820  ..^cfzo 9949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950
This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  10041  fzosplitsni  10042  fzisfzounsn  10043
  Copyright terms: Public domain W3C validator