Theorem fzosplitsn 10577

Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsn	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		eluzelz 9862	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		uzid 9867	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
4		peano2uz 9914	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
6		elfzuzb 10352	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
7	1, 5, 6	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)))
8		fzosplit 10512	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))))
10		fzosn 10549	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵..^(𝐵 + 1)) = {𝐵})
11	2, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵..^(𝐵 + 1)) = {𝐵})
12	11	uneq2d 3372	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
13	9, 12	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3208  {csn 3688  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  1c1 8127   + caddc 8129  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  ...cfz 10341  ..^cfzo 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476

This theorem is referenced by:  fzosplitpr  10578  fzosplitprm1  10579  fzosplitsni  10580  fzisfzounsn  10581  cats1un  11409  bitsinv1  12644