Theorem fsum1p 11219

Description: Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumm1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsum1p.3	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fsum1p	|- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( B + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fsum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9355	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		fzsn 9877	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
6	5	ineq1d 3281	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
7	3	zred 9197	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
8	7	ltp1d 8712	. . . . 5 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
9		fzdisj 9863	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
11	6, 10	eqtr3d 2175	. . 3 |- ( ph -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
12		eluzfz1 9842	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
13	1, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
14		fzsplit 9862	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
16	5	uneq1d 3234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
18		eluzelz 9359	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	3, 19	fzfigd 10235	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
21		fsumm1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
22	11, 17, 20, 21	fsumsplit 11208	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( sum_ k e. { M } A + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
23		fsum1p.3	. . . . . 6 |- ( k = M -> A = B )
24	23	eleq1d 2209	. . . . 5 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
25	21	ralrimiva 2508	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
26	24, 25, 13	rspcdva 2798	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
27	23	sumsn 11212	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )
28	3, 26, 27	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { M } A = B )
29	28	oveq1d 5797	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { M } A + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) = ( B + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
30	22, 29	eqtrd 2173	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( B + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  telfsumo  11267  fsumparts  11271  arisum2  11300