Theorem fsum1p 11187

Description: Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumm1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsum1p.3	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fsum1p	|- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( B + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fsum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9331	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		fzsn 9846	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
6	5	ineq1d 3276	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
7	3	zred 9173	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
8	7	ltp1d 8688	. . . . 5 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
9		fzdisj 9832	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
11	6, 10	eqtr3d 2174	. . 3 |- ( ph -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
12		eluzfz1 9811	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
13	1, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
14		fzsplit 9831	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
16	5	uneq1d 3229	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2172	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
18		eluzelz 9335	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	3, 19	fzfigd 10204	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
21		fsumm1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
22	11, 17, 20, 21	fsumsplit 11176	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( sum_ k e. { M } A + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
23		fsum1p.3	. . . . . 6 |- ( k = M -> A = B )
24	23	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
25	21	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
26	24, 25, 13	rspcdva 2794	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
27	23	sumsn 11180	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )
28	3, 26, 27	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { M } A = B )
29	28	oveq1d 5789	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { M } A + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) = ( B + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
30	22, 29	eqtrd 2172	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( B + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  telfsumo  11235  fsumparts  11239  arisum2  11268