Theorem fprodeq0 11763

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodeq0.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodeq0.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
fprodeq0.4	|- ( ( ph /\ k = N ) -> A = 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0	|- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> prod_ k e. ( M ... K ) A = 0 )

Distinct variable groups:   k, K   k, M   k, N   k, Z   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodeq0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9600	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
3	2	zred 9442	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. RR )
4	3	ltp1d 8951	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N < ( N + 1 ) )
5		fzdisj 10121	. . . 4 |- ( N < ( N + 1 ) -> ( ( M ... N ) i^i ( ( N + 1 ) ... K ) ) = (/) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( M ... N ) i^i ( ( N + 1 ) ... K ) ) = (/) )
7		fprodeq0.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. Z )
8		eluzel2 9600	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9		fprodeq0.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	8, 9	eleq2s 2288	. . . . . . . 8 |- ( N e. Z -> M e. ZZ )
11	7, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
13		eluzelz 9604	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
15	12, 14, 2	3jca 1179	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
16		eluzle 9607	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
17	16, 9	eleq2s 2288	. . . . . . 7 |- ( N e. Z -> M <_ N )
18	7, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ N )
19		eluzle 9607	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
20	18, 19	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ K ) )
21		elfz2 10084	. . . . 5 |- ( N e. ( M ... K ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ N /\ N <_ K ) ) )
22	15, 20, 21	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... K ) )
23		fzsplit 10120	. . . 4 |- ( N e. ( M ... K ) -> ( M ... K ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... K ) ) )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( M ... K ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... K ) ) )
25	12, 14	fzfigd 10505	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( M ... K ) e. Fin )
26		elfzelz 10094	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... K ) -> j e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ j e. ( M ... K ) ) -> j e. ZZ )
28	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ j e. ( M ... K ) ) -> M e. ZZ )
29	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ j e. ( M ... K ) ) -> N e. ZZ )
30		fzdcel 10109	. . . . 5 |- ( ( j e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( M ... N ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ j e. ( M ... K ) ) -> DECID j e. ( M ... N ) )
32	31	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A. j e. ( M ... K )DECID j e. ( M ... N ) )
33		elfzuz 10090	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
34	33, 9	eleqtrrdi 2287	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. Z )
35		fprodeq0.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
36	34, 35	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... K ) ) -> A e. CC )
37	36	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> A e. CC )
38	6, 24, 25, 32, 37	fprodsplitdc 11742	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> prod_ k e. ( M ... K ) A = ( prod_ k e. ( M ... N ) A x. prod_ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) A ) )
39	7, 9	eleqtrdi 2286	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
40		elfzuz 10090	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
41	40, 9	eleqtrrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. Z )
42	41, 35	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
43	39, 42	fprodm1s 11747	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( prod_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A x. [_ N / k ]_ A ) )
44		fprodeq0.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = N ) -> A = 0 )
45	7, 44	csbied 3128	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ N / k ]_ A = 0 )
46	45	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A x. [_ N / k ]_ A ) = ( prod_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A x. 0 ) )
47		eluzelz 9604	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
48	39, 47	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
49		peano2zm 9358	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
51	11, 50	fzfigd 10505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
52		elfzuz 10090	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
53	52, 9	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. Z )
54	53, 35	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
55	51, 54	fprodcl 11753	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A e. CC )
56	55	mul01d 8414	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A x. 0 ) = 0 )
57	43, 46, 56	3eqtrd 2230	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = 0 )
58	57	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> prod_ k e. ( M ... N ) A = 0 )
59	58	oveq1d 5934	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( prod_ k e. ( M ... N ) A x. prod_ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) A ) = ( 0 x. prod_ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) A ) )
60	2	peano2zd 9445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
61	60, 14	fzfigd 10505	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( N + 1 ) ... K ) e. Fin )
62	9	peano2uzs 9652	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Z -> ( N + 1 ) e. Z )
63	7, 62	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. Z )
64		elfzuz 10090	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( N + 1 ) ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
65	9	uztrn2 9613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> k e. Z )
66	63, 64, 65	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) ) -> k e. Z )
67	66	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) ) ) -> k e. Z )
68	67, 35	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) ) ) -> A e. CC )
69	68	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) ) -> A e. CC )
70	61, 69	fprodcl 11753	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> prod_ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) A e. CC )
71	70	mul02d 8413	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 0 x. prod_ k e. ( ( N + 1 ) ... K ) A ) = 0 )
72	38, 59, 71	3eqtrd 2230	1 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> prod_ k e. ( M ... K ) A = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   [_csb 3081   u. cun 3152   i^i cin 3153   (/)c0 3447   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   prod_cprod 11696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-proddc 11697

This theorem is referenced by: (None)