Theorem fprod1p 11540

Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1p.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprod1p.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fprod1p.3	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fprod1p	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   B, k   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprod1p

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod1p.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 9966	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		elfzelz 9960	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		fzsn 10001	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
8	7	ineq1d 3322	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
9	5	zred 9313	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
10	9	ltp1d 8825	. . . . 5 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
11		fzdisj 9987	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
13	8, 12	eqtr3d 2200	. . 3 |- ( ph -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
14		fzsplit 9986	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
16	7	uneq1d 3275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
18		eluzelz 9475	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	5, 19	fzfigd 10366	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
21		elfzelz 9960	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
22		zdceq 9266	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j = M )
23	21, 5, 22	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> DECID j = M )
24		velsn 3593	. . . . . 6 |- ( j e. { M } <-> j = M )
25	24	dcbii 830	. . . . 5 |- (DECID j e. { M } <-> DECID j = M )
26	23, 25	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> DECID j e. { M } )
27	26	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( M ... N )DECID j e. { M } )
28		fprod1p.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
29	13, 17, 20, 27, 28	fprodsplitdc 11537	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
30		fprod1p.3	. . . . . 6 |- ( k = M -> A = B )
31	30	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
32	28	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
33	31, 32, 3	rspcdva 2835	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
34	30	prodsn 11534	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )
35	3, 33, 34	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { M } A = B )
36	35	oveq1d 5857	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
37	29, 36	eqtrd 2198	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   prod_cprod 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-proddc 11492

This theorem is referenced by: (None)