Theorem fprod1p 12159

Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1p.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprod1p.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fprod1p.3	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fprod1p	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   B, k   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprod1p

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod1p.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 10265	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		elfzelz 10259	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		fzsn 10300	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
8	7	ineq1d 3407	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
9	5	zred 9601	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
10	9	ltp1d 9109	. . . . 5 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
11		fzdisj 10286	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
13	8, 12	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ph -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
14		fzsplit 10285	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
16	7	uneq1d 3360	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
18		eluzelz 9764	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	5, 19	fzfigd 10692	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
21		elfzelz 10259	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
22		zdceq 9554	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j = M )
23	21, 5, 22	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> DECID j = M )
24		velsn 3686	. . . . . 6 |- ( j e. { M } <-> j = M )
25	24	dcbii 847	. . . . 5 |- (DECID j e. { M } <-> DECID j = M )
26	23, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> DECID j e. { M } )
27	26	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( M ... N )DECID j e. { M } )
28		fprod1p.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
29	13, 17, 20, 27, 28	fprodsplitdc 12156	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
30		fprod1p.3	. . . . . 6 |- ( k = M -> A = B )
31	30	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
32	28	ralrimiva 2605	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
33	31, 32, 3	rspcdva 2915	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
34	30	prodsn 12153	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )
35	3, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { M } A = B )
36	35	oveq1d 6032	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
37	29, 36	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   i^i cin 3199   (/)c0 3494   {csn 3669   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   prod_cprod 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-proddc 12111

This theorem is referenced by: (None)