Theorem fprod1p 11742

Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1p.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprod1p.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fprod1p.3	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fprod1p	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   B, k   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprod1p

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod1p.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 10097	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		elfzelz 10091	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		fzsn 10132	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
8	7	ineq1d 3359	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
9	5	zred 9439	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
10	9	ltp1d 8949	. . . . 5 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
11		fzdisj 10118	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
13	8, 12	eqtr3d 2228	. . 3 |- ( ph -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
14		fzsplit 10117	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
16	7	uneq1d 3312	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
18		eluzelz 9601	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	5, 19	fzfigd 10502	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
21		elfzelz 10091	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
22		zdceq 9392	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j = M )
23	21, 5, 22	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> DECID j = M )
24		velsn 3635	. . . . . 6 |- ( j e. { M } <-> j = M )
25	24	dcbii 841	. . . . 5 |- (DECID j e. { M } <-> DECID j = M )
26	23, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> DECID j e. { M } )
27	26	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( M ... N )DECID j e. { M } )
28		fprod1p.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
29	13, 17, 20, 27, 28	fprodsplitdc 11739	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
30		fprod1p.3	. . . . . 6 |- ( k = M -> A = B )
31	30	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
32	28	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
33	31, 32, 3	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
34	30	prodsn 11736	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )
35	3, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { M } A = B )
36	35	oveq1d 5933	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
37	29, 36	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   i^i cin 3152   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by: (None)