Theorem fzssp1 10061

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzssp1	|- ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) )

Proof of Theorem fzssp1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzel2 10017	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9537	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3		peano2uz 9578	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
4		fzss2 10058	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
6		id 19	. . 3 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( M ... N ) )
7	5, 6	sseldd 3156	. 2 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
8	7	ssriv 3159	1 |- ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) )

Syntax hints:   e. wcel 2148   C_ wss 3129   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   1c1 7808   + caddc 7810   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523   ...cfz 10003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004

This theorem is referenced by:  fzelp1  10068  fseq1p1m1  10088  monoord2  10471  binomlem  11483  binom1dif  11487