Theorem genplt2i 7653

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
genplt2i.com	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	|- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   x, G, y, z

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A <Q B )
2		genplt2i.ord	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
4		ltrelnq 7508	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4740	. . . . 5 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
6	4	brel 4740	. . . . 5 |- ( C <Q D -> ( C e. Q. /\ D e. Q. ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> A e. Q. )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A e. Q. )
9		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> B e. Q. )
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> B e. Q. )
11		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> C e. Q. )
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C e. Q. )
13		genplt2i.com	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6134	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A <Q B <-> ( A G C ) <Q ( B G C ) ) )
16	1, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G C ) )
17		simpr 110	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C <Q D )
18		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> D e. Q. )
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> D e. Q. )
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6133	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( C <Q D <-> ( B G C ) <Q ( B G D ) ) )
21	17, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( B G C ) <Q ( B G D ) )
22		ltsonq 7541	. . 3 |- <Q Or Q.
23	22, 4	sotri 5092	. 2 |- ( ( ( A G C ) <Q ( B G C ) /\ ( B G C ) <Q ( B G D ) ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962   Q.cnq 7423   <Q cltq 7428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-eprel 4349  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-irdg 6474  df-oadd 6524  df-omul 6525  df-er 6638  df-ec 6640  df-qs 6644  df-ni 7447  df-mi 7449  df-lti 7450  df-enq 7490  df-nqqs 7491  df-ltnqqs 7496

This theorem is referenced by:  genprndl  7664  genprndu  7665  genpdisj  7666