Theorem genplt2i 7622

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
genplt2i.com	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	|- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   x, G, y, z

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A <Q B )
2		genplt2i.ord	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
4		ltrelnq 7477	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4726	. . . . 5 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
6	4	brel 4726	. . . . 5 |- ( C <Q D -> ( C e. Q. /\ D e. Q. ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> A e. Q. )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A e. Q. )
9		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> B e. Q. )
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> B e. Q. )
11		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> C e. Q. )
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C e. Q. )
13		genplt2i.com	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6115	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A <Q B <-> ( A G C ) <Q ( B G C ) ) )
16	1, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G C ) )
17		simpr 110	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C <Q D )
18		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> D e. Q. )
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> D e. Q. )
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6114	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( C <Q D <-> ( B G C ) <Q ( B G D ) ) )
21	17, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( B G C ) <Q ( B G D ) )
22		ltsonq 7510	. . 3 |- <Q Or Q.
23	22, 4	sotri 5077	. 2 |- ( ( ( A G C ) <Q ( B G C ) /\ ( B G C ) <Q ( B G D ) ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   Q.cnq 7392   <Q cltq 7397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-mi 7418  df-lti 7419  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-ltnqqs 7465

This theorem is referenced by:  genprndl  7633  genprndu  7634  genpdisj  7635