Theorem genplt2i 7511

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
genplt2i.com	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	|- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   x, G, y, z

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A <Q B )
2		genplt2i.ord	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
4		ltrelnq 7366	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4680	. . . . 5 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
6	4	brel 4680	. . . . 5 |- ( C <Q D -> ( C e. Q. /\ D e. Q. ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> A e. Q. )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A e. Q. )
9		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> B e. Q. )
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> B e. Q. )
11		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> C e. Q. )
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C e. Q. )
13		genplt2i.com	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6046	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A <Q B <-> ( A G C ) <Q ( B G C ) ) )
16	1, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G C ) )
17		simpr 110	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C <Q D )
18		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> D e. Q. )
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> D e. Q. )
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6045	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( C <Q D <-> ( B G C ) <Q ( B G D ) ) )
21	17, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( B G C ) <Q ( B G D ) )
22		ltsonq 7399	. . 3 |- <Q Or Q.
23	22, 4	sotri 5026	. 2 |- ( ( ( A G C ) <Q ( B G C ) /\ ( B G C ) <Q ( B G D ) ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   Q.cnq 7281   <Q cltq 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354

This theorem is referenced by:  genprndl  7522  genprndu  7523  genpdisj  7524