ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i Unicode version

Theorem genplt2i 7325
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with  <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
genplt2i.com  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
Assertion
Ref Expression
genplt2i  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A G C )  <Q  ( B G D ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z    x, D, y, z    x, G, y, z

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  A  <Q  B )
2 genplt2i.ord . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q  (
z G y ) ) )
4 ltrelnq 7180 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4591 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
64brel 4591 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  D  ->  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. ) )
7 simpll 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  A  e.  Q. )
85, 6, 7syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  A  e.  Q. )
9 simplr 519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  B  e.  Q. )
105, 6, 9syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  B  e.  Q. )
11 simprl 520 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  C  e.  Q. )
125, 6, 11syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  C  e.  Q. )
13 genplt2i.com . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
1413adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )
)  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 5940 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A  <Q  B  <->  ( A G C )  <Q  ( B G C ) ) )
161, 15mpbid 146 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A G C )  <Q  ( B G C ) )
17 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  C  <Q  D )
18 simprr 521 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  D  e.  Q. )
195, 6, 18syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  D  e.  Q. )
203, 12, 19, 10caovordd 5939 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( C  <Q  D  <->  ( B G C )  <Q  ( B G D ) ) )
2117, 20mpbid 146 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( B G C )  <Q  ( B G D ) )
22 ltsonq 7213 . . 3  |-  <Q  Or  Q.
2322, 4sotri 4934 . 2  |-  ( ( ( A G C )  <Q  ( B G C )  /\  ( B G C )  <Q 
( B G D ) )  ->  ( A G C )  <Q 
( B G D ) )
2416, 21, 23syl2anc 408 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A G C )  <Q  ( B G D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Q.cnq 7095    <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-lti 7122  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-ltnqqs 7168
This theorem is referenced by:  genprndl  7336  genprndu  7337  genpdisj  7338
  Copyright terms: Public domain W3C validator