Theorem genplt2i 7342

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
genplt2i.com	|- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	|- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   x, G, y, z

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A <Q B )
2		genplt2i.ord	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
3	2	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
4		ltrelnq 7197	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4599	. . . . 5 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
6	4	brel 4599	. . . . 5 |- ( C <Q D -> ( C e. Q. /\ D e. Q. ) )
7		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> A e. Q. )
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> A e. Q. )
9		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> B e. Q. )
10	5, 6, 9	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> B e. Q. )
11		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> C e. Q. )
12	5, 6, 11	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C e. Q. )
13		genplt2i.com	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
14	13	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C <Q D ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 5948	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A <Q B <-> ( A G C ) <Q ( B G C ) ) )
16	1, 15	mpbid 146	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G C ) )
17		simpr 109	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> C <Q D )
18		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> D e. Q. )
19	5, 6, 18	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> D e. Q. )
20	3, 12, 19, 10	caovordd 5947	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( C <Q D <-> ( B G C ) <Q ( B G D ) ) )
21	17, 20	mpbid 146	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( B G C ) <Q ( B G D ) )
22		ltsonq 7230	. . 3 |- <Q Or Q.
23	22, 4	sotri 4942	. 2 |- ( ( ( A G C ) <Q ( B G C ) /\ ( B G C ) <Q ( B G D ) ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )
24	16, 21, 23	syl2anc 409	1 |- ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A G C ) <Q ( B G D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   Q.cnq 7112   <Q cltq 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-lti 7139  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-ltnqqs 7185

This theorem is referenced by:  genprndl  7353  genprndu  7354  genpdisj  7355