Theorem caovord2d 5948

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
caovordd.2	|- ( ph -> A e. S )
caovordd.3	|- ( ph -> B e. S )
caovordd.4	|- ( ph -> C e. S )
caovord2d.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	|- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
2		caovordd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. S )
3		caovordd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. S )
4		caovordd.4	. . 3 |- ( ph -> C e. S )
5	1, 2, 3, 4	caovordd 5947	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> ( C F A ) R ( C F B ) ) )
6		caovord2d.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
7	6, 4, 2	caovcomd 5935	. . 3 |- ( ph -> ( C F A ) = ( A F C ) )
8	6, 4, 3	caovcomd 5935	. . 3 |- ( ph -> ( C F B ) = ( B F C ) )
9	7, 8	breq12d 3950	. 2 |- ( ph -> ( ( C F A ) R ( C F B ) <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )
10	5, 9	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785

This theorem is referenced by:  caovord3d  5949  genplt2i  7342  addnqprllem  7359  addnqprulem  7360  mulnqprl  7400  mulnqpru  7401  distrlem4prl  7416  distrlem4pru  7417  1idprl  7422  1idpru  7423  ltexprlemdisj  7438  ltexprlemloc  7439  ltexprlemfl  7441  ltexprlemfu  7443  prplnqu  7452  recexprlem1ssl  7465  recexprlem1ssu  7466  aptiprleml  7471  aptiprlemu  7472  caucvgprlemcanl  7476  cauappcvgprlemlol  7479  cauappcvgprlemloc  7484  cauappcvgprlemladdfu  7486  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  cauappcvgprlem1  7491  caucvgprlemnkj  7498  caucvgprlemnbj  7499  caucvgprlemlol  7502  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlemladdrl  7510  caucvgprprlemnkltj  7521  caucvgprprlemnbj  7525  caucvgprprlemmu  7527  caucvgprprlemlol  7530  caucvgprprlemloc  7535  caucvgprprlemexbt  7538  caucvgprprlemexb  7539  caucvgprprlemaddq  7540  lttrsr  7594  ltsosr  7596  prsrlt  7619  caucvgsrlemoffcau  7630  caucvgsrlemoffgt1  7631  caucvgsrlemoffres  7632  caucvgsr  7634