Theorem caovord2d 5940

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
caovordd.2	|- ( ph -> A e. S )
caovordd.3	|- ( ph -> B e. S )
caovordd.4	|- ( ph -> C e. S )
caovord2d.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	|- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
2		caovordd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. S )
3		caovordd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. S )
4		caovordd.4	. . 3 |- ( ph -> C e. S )
5	1, 2, 3, 4	caovordd 5939	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> ( C F A ) R ( C F B ) ) )
6		caovord2d.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
7	6, 4, 2	caovcomd 5927	. . 3 |- ( ph -> ( C F A ) = ( A F C ) )
8	6, 4, 3	caovcomd 5927	. . 3 |- ( ph -> ( C F B ) = ( B F C ) )
9	7, 8	breq12d 3942	. 2 |- ( ph -> ( ( C F A ) R ( C F B ) <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )
10	5, 9	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  caovord3d  5941  genplt2i  7318  addnqprllem  7335  addnqprulem  7336  mulnqprl  7376  mulnqpru  7377  distrlem4prl  7392  distrlem4pru  7393  1idprl  7398  1idpru  7399  ltexprlemdisj  7414  ltexprlemloc  7415  ltexprlemfl  7417  ltexprlemfu  7419  prplnqu  7428  recexprlem1ssl  7441  recexprlem1ssu  7442  aptiprleml  7447  aptiprlemu  7448  caucvgprlemcanl  7452  cauappcvgprlemlol  7455  cauappcvgprlemloc  7460  cauappcvgprlemladdfu  7462  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgprlem1  7467  caucvgprlemnkj  7474  caucvgprlemnbj  7475  caucvgprlemlol  7478  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprprlemnkltj  7497  caucvgprprlemnbj  7501  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemlol  7506  caucvgprprlemloc  7511  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlemexb  7515  caucvgprprlemaddq  7516  lttrsr  7570  ltsosr  7572  prsrlt  7595  caucvgsrlemoffcau  7606  caucvgsrlemoffgt1  7607  caucvgsrlemoffres  7608  caucvgsr  7610