Theorem caovord2d 6088

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
caovordd.2	|- ( ph -> A e. S )
caovordd.3	|- ( ph -> B e. S )
caovordd.4	|- ( ph -> C e. S )
caovord2d.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	|- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
2		caovordd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. S )
3		caovordd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. S )
4		caovordd.4	. . 3 |- ( ph -> C e. S )
5	1, 2, 3, 4	caovordd 6087	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> ( C F A ) R ( C F B ) ) )
6		caovord2d.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
7	6, 4, 2	caovcomd 6075	. . 3 |- ( ph -> ( C F A ) = ( A F C ) )
8	6, 4, 3	caovcomd 6075	. . 3 |- ( ph -> ( C F B ) = ( B F C ) )
9	7, 8	breq12d 4042	. 2 |- ( ph -> ( ( C F A ) R ( C F B ) <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )
10	5, 9	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by:  caovord3d  6089  genplt2i  7570  addnqprllem  7587  addnqprulem  7588  mulnqprl  7628  mulnqpru  7629  distrlem4prl  7644  distrlem4pru  7645  1idprl  7650  1idpru  7651  ltexprlemdisj  7666  ltexprlemloc  7667  ltexprlemfl  7669  ltexprlemfu  7671  prplnqu  7680  recexprlem1ssl  7693  recexprlem1ssu  7694  aptiprleml  7699  aptiprlemu  7700  caucvgprlemcanl  7704  cauappcvgprlemlol  7707  cauappcvgprlemloc  7712  cauappcvgprlemladdfu  7714  cauappcvgprlemladdru  7716  cauappcvgprlemladdrl  7717  cauappcvgprlem1  7719  caucvgprlemnkj  7726  caucvgprlemnbj  7727  caucvgprlemlol  7730  caucvgprlemloc  7735  caucvgprlemladdfu  7737  caucvgprlemladdrl  7738  caucvgprprlemnkltj  7749  caucvgprprlemnbj  7753  caucvgprprlemmu  7755  caucvgprprlemlol  7758  caucvgprprlemloc  7763  caucvgprprlemexbt  7766  caucvgprprlemexb  7767  caucvgprprlemaddq  7768  lttrsr  7822  ltsosr  7824  prsrlt  7847  caucvgsrlemoffcau  7858  caucvgsrlemoffgt1  7859  caucvgsrlemoffres  7860  caucvgsr  7862