Theorem caovord2d 6090

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
caovordd.2	|- ( ph -> A e. S )
caovordd.3	|- ( ph -> B e. S )
caovordd.4	|- ( ph -> C e. S )
caovord2d.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	|- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
2		caovordd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. S )
3		caovordd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. S )
4		caovordd.4	. . 3 |- ( ph -> C e. S )
5	1, 2, 3, 4	caovordd 6089	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> ( C F A ) R ( C F B ) ) )
6		caovord2d.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
7	6, 4, 2	caovcomd 6077	. . 3 |- ( ph -> ( C F A ) = ( A F C ) )
8	6, 4, 3	caovcomd 6077	. . 3 |- ( ph -> ( C F B ) = ( B F C ) )
9	7, 8	breq12d 4043	. 2 |- ( ph -> ( ( C F A ) R ( C F B ) <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )
10	5, 9	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by:  caovord3d  6091  genplt2i  7572  addnqprllem  7589  addnqprulem  7590  mulnqprl  7630  mulnqpru  7631  distrlem4prl  7646  distrlem4pru  7647  1idprl  7652  1idpru  7653  ltexprlemdisj  7668  ltexprlemloc  7669  ltexprlemfl  7671  ltexprlemfu  7673  prplnqu  7682  recexprlem1ssl  7695  recexprlem1ssu  7696  aptiprleml  7701  aptiprlemu  7702  caucvgprlemcanl  7706  cauappcvgprlemlol  7709  cauappcvgprlemloc  7714  cauappcvgprlemladdfu  7716  cauappcvgprlemladdru  7718  cauappcvgprlemladdrl  7719  cauappcvgprlem1  7721  caucvgprlemnkj  7728  caucvgprlemnbj  7729  caucvgprlemlol  7732  caucvgprlemloc  7737  caucvgprlemladdfu  7739  caucvgprlemladdrl  7740  caucvgprprlemnkltj  7751  caucvgprprlemnbj  7755  caucvgprprlemmu  7757  caucvgprprlemlol  7760  caucvgprprlemloc  7765  caucvgprprlemexbt  7768  caucvgprprlemexb  7769  caucvgprprlemaddq  7770  lttrsr  7824  ltsosr  7826  prsrlt  7849  caucvgsrlemoffcau  7860  caucvgsrlemoffgt1  7861  caucvgsrlemoffres  7862  caucvgsr  7864