Theorem genplt2i 7311

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <_Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		genplt2i.ord	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
3	2	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4		ltrelnq 7166	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
6	4	brel 4586	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q))
7		simpll 518	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 ∈ Q)
9		simplr 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐵 ∈ Q)
10	5, 6, 9	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵 ∈ Q)
11		simprl 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 6, 11	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 ∈ Q)
13		genplt2i.com	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
14	13	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 5933	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
16	1, 15	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18		simprr 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐷 ∈ Q)
19	5, 6, 18	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷 ∈ Q)
20	3, 12, 19, 10	caovordd 5932	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
21	17, 20	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22		ltsonq 7199	. . 3 ⊢ <Q Or Q
23	22, 4	sotri 4929	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
24	16, 21, 23	syl2anc 408	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  Qcnq 7081   <_Q cltq 7086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-lti 7108  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154

This theorem is referenced by:  genprndl  7322  genprndu  7323  genpdisj  7324