Theorem genplt2i 7540

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <_Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		genplt2i.ord	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4		ltrelnq 7395	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
6	4	brel 4696	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q))
7		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 ∈ Q)
9		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐵 ∈ Q)
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵 ∈ Q)
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 ∈ Q)
13		genplt2i.com	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6067	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
16	1, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐷 ∈ Q)
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷 ∈ Q)
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6066	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
21	17, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22		ltsonq 7428	. . 3 ⊢ <Q Or Q
23	22, 4	sotri 5042	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  Qcnq 7310   <_Q cltq 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-mi 7336  df-lti 7337  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-ltnqqs 7383

This theorem is referenced by:  genprndl  7551  genprndu  7552  genpdisj  7553