Theorem genplt2i 7841

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <_Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		genplt2i.ord	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4		ltrelnq 7696	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
6	4	brel 4807	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q))
7		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 ∈ Q)
9		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐵 ∈ Q)
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵 ∈ Q)
11		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 ∈ Q)
13		genplt2i.com	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6232	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
16	1, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐷 ∈ Q)
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷 ∈ Q)
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6231	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
21	17, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22		ltsonq 7729	. . 3 ⊢ <Q Or Q
23	22, 4	sotri 5163	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  Qcnq 7611   <_Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-mi 7637  df-lti 7638  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  genprndl  7852  genprndu  7853  genpdisj  7854