Theorem genplt2i 7570

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <_Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		genplt2i.ord	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4		ltrelnq 7425	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4711	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
6	4	brel 4711	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q))
7		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 ∈ Q)
9		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐵 ∈ Q)
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵 ∈ Q)
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 ∈ Q)
13		genplt2i.com	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6088	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
16	1, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐷 ∈ Q)
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷 ∈ Q)
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6087	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
21	17, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22		ltsonq 7458	. . 3 ⊢ <Q Or Q
23	22, 4	sotri 5061	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  Qcnq 7340   <_Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-lti 7367  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  genprndl  7581  genprndu  7582  genpdisj  7583