ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i GIF version

Theorem genplt2i 7540
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
genplt2i ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 genplt2i.ord . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
32adantl 277 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4 ltrelnq 7395 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4696 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
64brel 4696 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶Q𝐷Q))
7 simpll 527 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐴Q)
85, 6, 7syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴Q)
9 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐵Q)
105, 6, 9syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵Q)
11 simprl 529 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐶Q)
125, 6, 11syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶Q)
13 genplt2i.com . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
1413adantl 277 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 6067 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
161, 15mpbid 147 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17 simpr 110 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18 simprr 531 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐷Q)
195, 6, 18syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷Q)
203, 12, 19, 10caovordd 6066 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
2117, 20mpbid 147 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22 ltsonq 7428 . . 3 <Q Or Q
2322, 4sotri 5042 . 2 (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
2416, 21, 23syl2anc 411 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  Qcnq 7310   <Q cltq 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-mi 7336  df-lti 7337  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-ltnqqs 7383
This theorem is referenced by:  genprndl  7551  genprndu  7552  genpdisj  7553
  Copyright terms: Public domain W3C validator