ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i GIF version

Theorem genplt2i 7166
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
genplt2i ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 genplt2i.ord . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
32adantl 272 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4 ltrelnq 7021 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4519 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
64brel 4519 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶Q𝐷Q))
7 simpll 497 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐴Q)
85, 6, 7syl2an 284 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴Q)
9 simplr 498 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐵Q)
105, 6, 9syl2an 284 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵Q)
11 simprl 499 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐶Q)
125, 6, 11syl2an 284 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶Q)
13 genplt2i.com . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
1413adantl 272 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 5852 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
161, 15mpbid 146 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17 simpr 109 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18 simprr 500 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐷Q)
195, 6, 18syl2an 284 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷Q)
203, 12, 19, 10caovordd 5851 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
2117, 20mpbid 146 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22 ltsonq 7054 . . 3 <Q Or Q
2322, 4sotri 4860 . 2 (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
2416, 21, 23syl2anc 404 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  Qcnq 6936   <Q cltq 6941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-mi 6962  df-lti 6963  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009
This theorem is referenced by:  genprndl  7177  genprndu  7178  genpdisj  7179
  Copyright terms: Public domain W3C validator