Theorem genplt2i 7594

Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <_Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genplt2i.ord	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com	⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))

Assertion

Ref	Expression
genplt2i	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		genplt2i.ord	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4		ltrelnq 7449	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4716	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
6	4	brel 4716	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q))
7		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐴 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 ∈ Q)
9		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐵 ∈ Q)
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵 ∈ Q)
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 6, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 ∈ Q)
13		genplt2i.com	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
15	3, 8, 10, 12, 14	caovord2d 6097	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
16	1, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → 𝐷 ∈ Q)
19	5, 6, 18	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷 ∈ Q)
20	3, 12, 19, 10	caovordd 6096	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
21	17, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22		ltsonq 7482	. . 3 ⊢ <Q Or Q
23	22, 4	sotri 5066	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
24	16, 21, 23	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  Qcnq 7364   <_Q cltq 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-lti 7391  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-ltnqqs 7437

This theorem is referenced by:  genprndl  7605  genprndu  7606  genpdisj  7607