Theorem gzreim 13187

Description: Construct a gaussian integer from real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzreim	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgz 13181	. 2 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ[_i] )
2		igz 13182	. . 3 |- _i e. ZZ[_i]
3		zgz 13181	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. ZZ[_i] )
4		gzmulcl 13186	. . 3 |- ( ( _i e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( _i x. B ) e. ZZ[_i] )
5	2, 3, 4	sylancr 418	. 2 |- ( B e. ZZ -> ( _i x. B ) e. ZZ[_i] )
6		gzaddcl 13185	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ ( _i x. B ) e. ZZ[_i] ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
7	1, 5, 6	syl2an 289	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   _ici 8187   + caddc 8188   x. cmul 8190   ZZcz 9655   ZZ[_i]cgz 13177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-gz 13178

This theorem is used by:  4sqlem4  13200  4sqlem12  13210  4sqlem17  13215  2sqlem2  16439  2sqlem3  16441