ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccneg Unicode version

Theorem iccneg 9786
Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  -u C  e.  ( -u B [,] -u A ) ) )

Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 8037 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR  ->  -u C  e.  RR )
2 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR  ->  ( -u C  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
31, 2impbid2 142 . . . 4  |-  ( C  e.  RR  ->  ( C  e.  RR  <->  -u C  e.  RR ) )
433ad2ant3 1004 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  e.  RR  <->  -u C  e.  RR ) )
5 ancom 264 . . . 4  |-  ( ( C  <_  B  /\  A  <_  C )  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
6 leneg 8241 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <_  B  <->  -u B  <_  -u C ) )
76ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <_  B  <->  -u B  <_  -u C ) )
873adant1 999 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <_  B  <->  -u B  <_  -u C ) )
9 leneg 8241 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -u C  <_  -u A ) )
1093adant2 1000 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -u C  <_  -u A ) )
118, 10anbi12d 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  <_  B  /\  A  <_  C )  <-> 
( -u B  <_  -u C  /\  -u C  <_  -u A
) ) )
125, 11bitr3id 193 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <_  B )  <-> 
( -u B  <_  -u C  /\  -u C  <_  -u A
) ) )
134, 12anbi12d 464 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  e.  RR  /\  ( A  <_  C  /\  C  <_  B ) )  <->  ( -u C  e.  RR  /\  ( -u B  <_  -u C  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) ) )
14 elicc2 9735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
15143adant3 1001 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
16 3anass 966 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
1715, 16syl6bb 195 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) ) )
18 renegcl 8037 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
19 renegcl 8037 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
20 elicc2 9735 . . . . 5  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  -u A  e.  RR )  ->  ( -u C  e.  ( -u B [,] -u A )  <->  ( -u C  e.  RR  /\  -u B  <_ 
-u C  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) )
2118, 19, 20syl2anr 288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u C  e.  ( -u B [,] -u A )  <->  ( -u C  e.  RR  /\  -u B  <_ 
-u C  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) )
22213adant3 1001 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -u C  e.  ( -u B [,] -u A )  <->  ( -u C  e.  RR  /\  -u B  <_ 
-u C  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) )
23 3anass 966 . . 3  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  -u B  <_  -u C  /\  -u C  <_  -u A
)  <->  ( -u C  e.  RR  /\  ( -u B  <_  -u C  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) )
2422, 23syl6bb 195 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -u C  e.  ( -u B [,] -u A )  <->  ( -u C  e.  RR  /\  ( -u B  <_  -u C  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) ) )
2513, 17, 243bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  -u C  e.  ( -u B [,] -u A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7633    <_ cle 7815   -ucneg 7948   [,]cicc 9688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-icc 9692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator