Theorem iccneg 10322

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8534	. . . . 5 |- ( C e. RR -> -u C e. RR )
2		ax-1 6	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( -u C e. RR -> C e. RR ) )
3	1, 2	impbid2 143	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
4	3	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
5		ancom 266	. . . 4 |- ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) )
6		leneg 8739	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
8	7	3adant1 1042	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
9		leneg 8739	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
10	9	3adant2 1043	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
12	5, 11	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
13	4, 12	anbi12d 473	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
14		elicc2 10271	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
15	14	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
16		3anass 1009	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
17	15, 16	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
18		renegcl 8534	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
19		renegcl 8534	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
20		elicc2 10271	. . . . 5 |- ( ( -u B e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
21	18, 19, 20	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
22	21	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
23		3anass 1009	. . 3 |- ( ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
24	22, 23	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
25	13, 17, 24	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   <_ cle 8309   -ucneg 8445   [,]cicc 10224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-icc 10228

This theorem is referenced by: (None)