ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccneg Unicode version
Theorem iccneg 9802
Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )
Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 8047 . . . . 5 |- ( C e. RR -> -u C e. RR )
2 ax-1 6 . . . . 5 |- ( C e. RR -> ( -u C e. RR -> C e. RR ) )
31, 2impbid2 142 . . . 4 |- ( C e. RR -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
433ad2ant3 1005 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
5 ancom 264 . . . 4 |- ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) )
6 leneg 8251 . . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
76ancoms 266 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
873adant1 1000 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
9 leneg 8251 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
1093adant2 1001 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
118, 10anbi12d 465 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
125, 11bitr3id 193 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
134, 12anbi12d 465 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
14 elicc2 9751 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
15143adant3 1002 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
16 3anass 967 . . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
1715, 16syl6bb 195 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
18 renegcl 8047 . . . . 5 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
19 renegcl 8047 . . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
20 elicc2 9751 . . . . 5 |- ( ( -u B e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
2118, 19, 20syl2anr 288 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
22213adant3 1002 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
23 3anass 967 . . 3 |- ( ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
2422, 23syl6bb 195 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
2513, 17, 243bitr4d 219 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   <_ cle 7825   -ucneg 7958   [,]cicc 9704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-icc 9708
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator