Theorem iccneg 10146

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8368	. . . . 5 |- ( C e. RR -> -u C e. RR )
2		ax-1 6	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( -u C e. RR -> C e. RR ) )
3	1, 2	impbid2 143	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
4	3	3ad2ant3 1023	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
5		ancom 266	. . . 4 |- ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) )
6		leneg 8573	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
8	7	3adant1 1018	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
9		leneg 8573	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
10	9	3adant2 1019	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
12	5, 11	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
13	4, 12	anbi12d 473	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
14		elicc2 10095	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
15	14	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
16		3anass 985	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
17	15, 16	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
18		renegcl 8368	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
19		renegcl 8368	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
20		elicc2 10095	. . . . 5 |- ( ( -u B e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
21	18, 19, 20	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
22	21	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
23		3anass 985	. . 3 |- ( ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
24	22, 23	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
25	13, 17, 24	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   <_ cle 8143   -ucneg 8279   [,]cicc 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-icc 10052

This theorem is referenced by: (None)