Theorem iccneg 10391

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8587	. . . . 5 |- ( C e. RR -> -u C e. RR )
2		ax-1 6	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( -u C e. RR -> C e. RR ) )
3	1, 2	impbid2 143	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
4	3	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
5		ancom 266	. . . 4 |- ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) )
6		leneg 8793	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
8	7	3adant1 1046	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
9		leneg 8793	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
10	9	3adant2 1047	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
11	8, 10	anbi12d 477	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
12	5, 11	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
13	4, 12	anbi12d 477	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
14		elicc2 10340	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
15	14	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
16		3anass 1013	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
17	15, 16	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
18		renegcl 8587	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
19		renegcl 8587	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
20		elicc2 10340	. . . . 5 |- ( ( -u B e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
21	18, 19, 20	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
22	21	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
23		3anass 1013	. . 3 |- ( ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
24	22, 23	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
25	13, 17, 24	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   <_ cle 8361   -ucneg 8498   [,]cicc 10293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-icc 10297

This theorem is used by: (None)