Theorem iccneg 10185

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8407	. . . . 5 |- ( C e. RR -> -u C e. RR )
2		ax-1 6	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( -u C e. RR -> C e. RR ) )
3	1, 2	impbid2 143	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
4	3	3ad2ant3 1044	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. RR <-> -u C e. RR ) )
5		ancom 266	. . . 4 |- ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) )
6		leneg 8612	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
8	7	3adant1 1039	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C <_ B <-> -u B <_ -u C ) )
9		leneg 8612	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
10	9	3adant2 1040	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
12	5, 11	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
13	4, 12	anbi12d 473	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
14		elicc2 10134	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
15	14	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
16		3anass 1006	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
17	15, 16	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
18		renegcl 8407	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
19		renegcl 8407	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
20		elicc2 10134	. . . . 5 |- ( ( -u B e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
21	18, 19, 20	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
22	21	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
23		3anass 1006	. . 3 |- ( ( -u C e. RR /\ -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) )
24	22, 23	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -u C e. ( -u B [,] -u A ) <-> ( -u C e. RR /\ ( -u B <_ -u C /\ -u C <_ -u A ) ) ) )
25	13, 17, 24	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> -u C e. ( -u B [,] -u A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   <_ cle 8182   -ucneg 8318   [,]cicc 10087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-icc 10091

This theorem is referenced by: (None)